Piano di studi di Algebra e Geometria II

Scopo e destinatari

Questo corso è la seconda metà di un percorso che comincia con Algebra e Geometria I: Numeri, Funzioni e Geometria del Piano. Il corso I ha costruito, a partire dagli assiomi di Peano, gli insiemi numerici fino ai complessi in forma algebrica, l’algebra dei polinomi, le funzioni reali e i loro grafici, la geometria analitica del piano con i suoi vettori e le sue coniche, e le funzioni esponenziale, logaritmica e iperboliche. Il corso II prende quegli oggetti e li porta in tre territori nuovi: la trigonometria, che misura gli angoli e trasforma le rotazioni in un calcolo; i numeri complessi in forma polare, dove quel calcolo diventa moltiplicazione; e le matrici, che ordinano i sistemi lineari e le trasformazioni e che, insieme ai vettori, sostengono la geometria analitica dello spazio con cui il corso si conclude.

Il suo scopo è lo stesso del corso I: non solo insegnare a calcolare, ma mostrare da dove proviene ogni calcolo. Ogni risultato che si impiega viene enunciato e dimostrato, oppure dichiarato espressamente ammesso quando la sua dimostrazione appartiene a un altro corso; così accade, per esempio, con il teorema fondamentale dell’algebra o con le proprietà della lunghezza di un arco, che richiedono l’analisi.

Si rivolge a chi abbia completato il corso I, o ne padroneggi per altra via i contenuti: studenti degli ultimi anni della scuola secondaria che preparano il loro ingresso all’università, studenti del primo anno universitario di scienze, ingegneria, economia o formazione degli insegnanti di matematica, e chiunque voglia ricostruire con rigore una matematica che ha imparato come un insieme di ricette. Se è così, il corso presuppone noti la completezza dei numeri reali, lo studio di funzioni con le loro inverse e le trasformazioni dei loro grafici, la retta, i vettori e il prodotto scalare del piano, le coniche, l’esponenziale e il logaritmo, e l’aritmetica dei complessi in forma algebrica. Chi dubiti di qualcuno di questi punti può tornare alla sintesi dell’unità corrispondente del corso I e risolverne le sfide prima di cominciare.

Ora, il corso occupa anche un luogo di passaggio. È il prerequisito di Analisi I: Calcolo Differenziale, che deriva le funzioni trigonometriche a partire dalla disuguaglianza $\sin x < x < \tan x$ dimostrata nell’unità 1 e che apre, a sua volta, Fondamenti di Meccanica e Analisi II: Calcolo Integrale, dove ricompaiono il moto circolare, le sostituzioni trigonometriche e le aree in coordinate polari.

Obiettivi di apprendimento globali

Gli obiettivi elencati qui sotto descrivono ciò che uno studente che completa il corso deve essere in grado di fare. Ciascuno è formulato come una prestazione osservabile, in modo che lo si possa verificare con un compito concreto; ogni lezione dichiara, a sua volta, i propri obiettivi, e la lezione di chiusura mostra, lezione per lezione, a quale di questi sette è stata assegnata ciascuna. Gli obiettivi sono numerati perché vi si possano citare.

1. Obiettivo 1. Dimostrare enunciati di trigonometria, di algebra dei complessi e delle matrici, e di geometria analitica mediante un ragionamento deduttivo esplicito, impiegando la dimostrazione diretta, la dimostrazione per contronominale, la dimostrazione per assurdo e l’induzione, e distinguere in ogni dimostrazione ciò che è dedotto da ciò che è ammesso.
2. Obiettivo 2. Applicare la trigonometria alla misura di angoli e di triangoli, studiare le funzioni trigonometriche e le loro inverse, dimostrare identità, risolvere equazioni e disequazioni trigonometriche dandone la soluzione generale e descrivere curve in coordinate polari.
3. Obiettivo 3. Studiare la geometria del piano con gli strumenti del corso: calcolare angoli tra rette, eliminare mediante una rotazione degli assi il termine misto di un’equazione di secondo grado e classificare la conica che essa definisce, ed esprimere rotazioni, omotetie, simmetrie e proiezioni mediante la trigonometria, i numeri complessi e le matrici.
4. Obiettivo 4. Operare con numeri complessi in forma polare ed esponenziale, calcolarne le potenze e le radici, interpretarne geometricamente le operazioni e risolvere equazioni polinomiali nel campo complesso.
5. Obiettivo 5. Risolvere sistemi di equazioni lineari con le matrici, mediante il metodo di Gauss-Jordan, il rango, i determinanti e la matrice inversa, e riconoscere negli insiemi numerici, nei polinomi, nelle matrici e nei resti modulo $n$ le strutture algebriche di gruppo, di anello e di campo.
6. Obiettivo 6. Rappresentare punti, vettori, rette e piani dello spazio mediante coordinate ed equazioni, operare con i prodotti scalare, vettoriale e misto, e calcolare con essi angoli, distanze, aree e volumi, decidendo le posizioni reciproche di rette e piani mediante sistemi lineari.
7. Obiettivo 7. Modellizzare matematicamente situazioni della scienza, della tecnica e della vita quotidiana con gli strumenti del corso, e comunicare per iscritto le impostazioni, i calcoli e le dimostrazioni con notazione corretta, argomentazione completa e controllo della plausibilità dei risultati.

Gli obiettivi da 2 a 6 corrispondono, nell’essenziale, ai grandi temi del corso: il 2 alle unità 1 e 2, il 4 all’unità 3, il 5 all’unità 4 e il 6 all’unità 5, mentre il 3 raccoglie un filo che attraversa le unità da 1 a 4, la geometria del piano vista via via con seni e coseni, con i complessi e con le matrici. Il primo e il settimo, invece, sono trasversali: non appartengono a un’unità, ma si esercitano in tutte. Ne segue che il loro raggiungimento non può essere attribuito a una lezione determinata, e che conviene coltivarli lungo l’intero corso. Ora, entrambi hanno anche lezioni che li servono in modo principale: il primo, le sintesi, il cui nucleo ricostruisce la catena deduttiva di ciascuna unità; il settimo, le lezioni in cui l’impostazione dei problemi è la materia stessa, quella sull’angolo tra rette e le sue applicazioni e quella sui sistemi lineari.

Contenuti

Il corso si organizza in sette unità. La prima e l’ultima inquadrano il percorso; le cinque intermedie sviluppano i contenuti. Ciascuna di queste si apre con una lezione di introduzione, che presenta le sue lezioni, il contesto storico delle sue idee, il problema che diede loro origine e la loro rilevanza, e si chiude con una lezione di sintesi, che ricostruisce la catena deduttiva dell’unità, la collega al resto del corso e al corso I, e propone dieci sfide di difficoltà superiore a quella dei problemi delle lezioni.

Unità 0. Presentazione del corso

Consta di questa lezione, che fissa lo scopo, gli obiettivi globali, i contenuti, l’impegno e la progettazione del corso.

Unità 1. Funzioni trigonometriche e coordinate polari

Il suo obiettivo è definire le funzioni trigonometriche sulla circonferenza goniometrica, studiarne i grafici e le inverse, risolvere triangoli e descrivere curve in coordinate polari.

1. Funzioni trigonometriche e coordinate polari: introduzione.
2. Gli angoli e la loro misura: gradi e radianti.
3. Rapporti trigonometrici e circonferenza goniometrica.
4. Le funzioni trigonometriche e i loro grafici.
5. Le funzioni trigonometriche inverse.
6. Risoluzione dei triangoli: teoremi dei seni e del coseno.
7. Coordinate polari e curve polari.
8. Funzioni trigonometriche e coordinate polari: sintesi e sfide.

Unità 2. Trigonometria analitica

Il suo obiettivo è trasformare le funzioni trigonometriche in un calcolo algebrico, con identità, formule di addizione, equazioni e disequazioni, e applicarlo agli angoli tra rette e alle coniche ad assi obliqui.

1. Trigonometria analitica: introduzione.
2. Identità trigonometriche fondamentali.
3. Formule di addizione e sottrazione, duplicazione e bisezione.
4. Formule di prostaferesi e la forma armonica.
5. Equazioni e disequazioni trigonometriche.
6. L’angolo tra due rette e applicazioni della trigonometria.
7. Rotazione degli assi e l’equazione generale di secondo grado.
8. Trigonometria analitica: sintesi e sfide.

Unità 3. Numeri complessi in forma polare

Il suo obiettivo è descrivere ogni complesso mediante il suo modulo e il suo argomento, in modo che il prodotto si legga come una rotazione con dilatazione, le potenze come multipli di un angolo e le radici come poligoni regolari, e risolvere con ciò le equazioni polinomiali. Riprende i complessi in forma algebrica costruiti nell’unità 2 del corso I.

1. Numeri complessi in forma polare: introduzione.
2. La forma polare dei numeri complessi.
3. La formula di De Moivre e le potenze dei complessi.
4. Radici n-esime di un numero complesso e radici dell’unità.
5. L’esponenziale complesso e la formula di Eulero.
6. Geometria con i numeri complessi.
7. Equazioni polinomiali complesse: formule di Cardano e Ferrari.
8. Numeri complessi in forma polare: sintesi e sfide.

Unità 4. Matrici e strutture algebriche

Il suo obiettivo è fare della tabella dei coefficienti di un sistema lineare un oggetto con operazioni proprie, risolvere con essa i sistemi, leggere le matrici come trasformazioni e condensare ciò che è comune ai calcoli dei due corsi nelle nozioni algebriche di gruppo, di anello e di campo.

1. Matrici e strutture algebriche: introduzione.
2. Matrici e operazioni con le matrici.
3. Sistemi lineari e il metodo di Gauss-Jordan.
4. Determinanti: proprietà e regola di Cramer.
5. La matrice inversa.
6. Le matrici come trasformazioni del piano.
7. I numeri complessi come matrici.
8. Strutture algebriche: gruppi, anelli e campi.
9. Matrici e strutture algebriche: sintesi e sfide.

Unità 5. Geometria analitica dello spazio

Il suo obiettivo è estendere allo spazio la geometria analitica del piano studiata nell’unità 4 del corso I: descrivere punti e vettori con tre coordinate, a partire da un elenco esplicito di fatti ammessi della geometria euclidea dello spazio; misurare lunghezze e angoli con il prodotto scalare, dimostrando che l’angolo così definito è quello della geometria elementare; ottenere dal determinante di ordine tre il prodotto vettoriale e il prodotto misto, con la loro lettura come area, come volume e come criterio di complanarità; scrivere rette e piani mediante equazioni e deciderne le posizioni reciproche con il rango e il teorema di Rouché-Capelli (nel mondo ispanofono, teorema di Rouché-Frobenius) dell’unità 4; e calcolare distanze, angoli, proiezioni e la perpendicolare comune a due rette sghembe, con applicazioni alla meccanica, alla cristallografia, alla navigazione aerea e al posizionamento satellitare. L’unità studia la sfera, ma non le altre quadriche (ellissoidi, paraboloidi, iperboloidi, coni e cilindri di secondo grado), che non sono trattate in questo corso; nell’organizzazione attuale del sito, il loro studio spetta ad Analisi III.

1. Geometria analitica dello spazio: introduzione.
2. Vettori nello spazio e prodotto scalare.
3. Prodotto vettoriale e prodotto misto.
4. Rette e piani nello spazio.
5. Distanze, angoli e volumi nello spazio.
6. Geometria analitica dello spazio: sintesi e sfide.

Unità 6. Chiusura del corso

Consta della lezione Bilancio finale di Algebra e Geometria II, che ricorda i sette obiettivi globali e mostra, in una figura, a quale di essi è stata assegnata ogni lezione del corso e quali obiettivi specifici ha raggiunto ogni unità, e riunisce per obiettivo il primo tentativo delle valutazioni d’uscita.

Impegno e crediti

L’impegno di un corso non si misura con le ore di lezione frontale, che in un corso asincrono non esistono, ma con il lavoro totale dello studente: leggere, seguire le dimostrazioni, risolvere problemi e ripassare. La stima conta il tempo di lettura del testo di ogni lezione, venti minuti per problema risolto, trentacinque per problema proposto, quarantacinque per sfida e dodici per valutazione d’ingresso o d’uscita, e aggiunge un margine di un decimo per il ripasso.

Risultati

Le lezioni delle unità da 1 a 5 contengono nel complesso $145$ problemi risolti, $145$ problemi proposti e $50$ sfide. L’impegno stimato per unità, arrotondato all’ora, è il seguente:

• Unità 0, presentazione del corso: $1$ ora.
• Unità 1, funzioni trigonometriche e coordinate polari: $46$ ore.
• Unità 2, trigonometria analitica: $46$ ore.
• Unità 3, numeri complessi in forma polare: $46$ ore.
• Unità 4, matrici e strutture algebriche: $54$ ore.
• Unità 5, geometria analitica dello spazio: $36$ ore.
• Unità 6, chiusura del corso: meno di un’ora.

L’unità 5 è la più breve per numero di lezioni, ma le sue quattro lezioni di contenuto sono tra le più estese del corso. Il totale è di circa $230$ ore di lavoro dello studente. Conviene leggere questa cifra per ciò che è: una stima per uno studente che studia tutte le dimostrazioni e risolve tutti i problemi e le sfide. Chi padroneggia già alcuni dei contenuti, o si limita ai problemi proposti senza affrontare le sfide, impiegherà molto meno; chi studia l’argomento per la prima volta e senza l’abitudine a dimostrare può averne bisogno di più.

Ora, la cifra di $230$ ore è nominale: è quella che fissa i crediti del corso, e presuppone una lettura del testo a ritmo costante e tre quarti d’ora per sfida. Finché non sarà misurata con studenti reali, conviene accompagnarla con un intervallo realistico. Se la lettura avanzasse alla metà del ritmo supposto, come accade quando ogni dimostrazione si riscrive con carta e matita, e ogni sfida richiedesse settantacinque minuti invece di quarantacinque, lo stesso metodo darebbe circa $298$ ore. Pertanto, l’impegno prevedibile si colloca tra circa $230$ e circa $300$ ore. L’estremo superiore è una stima prudente, non una misurazione; l’intervallo sarà corretto quando si conoscerà il tempo che impiegano coloro che studiano il corso, e fino ad allora i crediti si calcolano con la cifra nominale.

Ritmo suggerito

Per denominare i ritmi, questo piano e quello del corso I seguono lo stesso criterio: l’impegno a tempo pieno è quello di un anno accademico di $60$ crediti, circa $1650$ ore distribuite in una quarantina di settimane, cioè circa $40$ ore settimanali, e l’impegno a tempo parziale ne è la metà, circa $20$ ore settimanali. Ne segue un ritmo raccomandato di un semestre di sedici settimane, con circa $14$ ore settimanali di studio, poco più di un terzo del tempo pieno e, pertanto, meno del tempo parziale; con l’intervallo realistico, da $14$ a $19$ ore settimanali, si avvicina al tempo parziale senza raggiungerlo. Così, i corsi I e II occupano due semestri consecutivi. Un ritmo più disteso, di circa $7$ ore settimanali, porta il corso a due semestri; uno intensivo, di circa $29$ ore settimanali, poco meno di tre quarti del tempo pieno, lo completa in otto settimane, il che equivale all’impegno di uno studente che non frequenta nessun’altra materia impegnativa nello stesso periodo.

Crediti

I crediti di questo sito misurano l’impegno totale che un corso richiede a chi lo studia (la lettura, i problemi, le sfide e il ripasso), e non le ore di lezione. Un credito equivale a circa $27{,}5$ ore di lavoro, e un anno a tempo pieno a $60$ crediti, cioè a circa $1650$ ore; è lo stesso criterio con cui più sopra si denominano i ritmi di studio.

Ora, dividendo le $230$ ore stimate per $27{,}5$ si ottiene 8,4, che si arrotonda a $8$. Se si ammette per il credito una fascia da $25$ a $30$ ore di lavoro, il numero $C$ di crediti del corso risulta compreso tra 7,7 e 9,2:

Pertanto, il corso ha $8$ crediti, poco più di un ottavo di un anno a tempo pieno. Chi desideri studiare solo una porzione del corso può usare l’elenco delle ore per unità: le unità da 0 a 4, per esempio, sommano circa $193$ ore, cioè circa $7$ crediti.

La loro utilità è pratica: permettono di confrontare tra loro il carico dei corsi del sito e di decidere quanti convenga studiarne contemporaneamente senza superare il tempo disponibile. Chi possa dedicare, per esempio, un tempo parziale a un semestre di sedici settimane, cioè circa $320$ ore, può affrontare corsi che sommino circa $12$ crediti; dedicando a tempo pieno lo stesso semestre, circa $23$.

Questi crediti sono una misura propria del sito per pianificare lo studio: non corrispondono ad alcun sistema ufficiale di crediti né comportano il riconoscimento accademico di alcuna istituzione.

Progettazione del corso

Modalità

Il corso è asincrono, online e a ritmo autonomo: non ha date, sessioni dal vivo né scadenze, e ogni studente avanza alla velocità che gli consentono la sua preparazione e il suo tempo. È offerto nelle quattordici lingue del sito, con la stessa matematica in tutte: le formule e i passi delle dimostrazioni sono identici in ogni versione, e si traduce solo il testo. Le lezioni dichiarano quali altre lezioni conviene aver studiato prima, anche quelle del corso I da cui dipendono, in modo che l’ordine raccomandato sia esplicito e possa essere verificato.

La struttura di una lezione

Tutte le lezioni tematiche seguono la stessa struttura. Cominciano con un riassunto e con un elenco di obiettivi di apprendimento propri, formulati come prestazioni osservabili. Seguono la teoria, con le definizioni, i teoremi enunciati con precisione e le loro dimostrazioni, e gli esempi. Le dimostrazioni e gli esempi si presentano come riproduttori passo per passo: ogni passo scrive una riga del ragionamento, illumina i termini che intervengono e, quando si appoggia su un risultato anteriore, vi ritorna e lo illumina mentre si legge, in modo che la memoria del ragionamento resti in vista; molti sono accompagnati da una figura che cambia a ogni passo. Chiudono la lezione cinque problemi risolti, con la loro soluzione passo per passo, e cinque problemi proposti, ciascuno con un suggerimento ripiegato e, poi, la risposta finale, perché lo studente verifichi il suo risultato senza che gli si riveli il cammino; i problemi proposti di dimostrazione aggiungono, ripiegata dopo la risposta, una soluzione svolta, che conviene aprire solo dopo aver redatto la propria.

Le lezioni di introduzione e di sintesi hanno una struttura propria. L’introduzione presenta l’unità, la sua storia, il problema che le diede origine e la sua rilevanza; la sintesi ricostruisce in una figura la catena deduttiva dell’unità, con i risultati che riutilizza e gli anelli che dimostra, la collega alle unità anteriori e al corso I, e propone dieci sfide, ciascuna con suggerimento, risposta finale e una soluzione svolta ripiegata, che combinano più lezioni ed esigono più inventiva dei problemi proposti.

Il lettore vocale

Ogni lezione si può ascoltare ad alta voce con il lettore del sito, che usa le voci del dispositivo stesso: il testo si legge così come è scritto e le formule si pronunciano a parole. Ciò permette di ripassare una lezione lontano dallo schermo, di seguire una dimostrazione ascoltandola mentre si guarda il riproduttore passo per passo, e di studiare con limitazioni visive.

Valutazione

Il corso non assegna voti né certifica: la sua valutazione nel sito è formativa. I problemi proposti permettono di verificare il raggiungimento degli obiettivi di ogni lezione, e le sfide, quello degli obiettivi di ogni unità. Ciascuna delle cinque unità ha, inoltre, una valutazione d’ingresso nella sua introduzione e una d’uscita nella sua sintesi, prima delle sfide: autovalutazioni brevi, corrette nel browser senza voto; quella d’ingresso ha nove o dieci domande sull’unità, più da due a sei su ciò che l’unità dà per noto delle unità anteriori o del corso I, e quella d’uscita, undici o dodici; entrambe indicano quale lezione ripassare per ogni errore e si confrontano tra loro per mostrare il progresso. Il bilancio finale riunisce il primo tentativo di ogni valutazione d’uscita in un profilo per obiettivo globale, che si conserva, come esse, soltanto nel browser dello studente. La convalida delle abilità, con valore di certificazione, si farà più avanti e fuori da questo sito, su un’altra piattaforma.

Per gli obiettivi globali si suggeriscono, inoltre, le evidenze di raggiungimento elencate qui sotto, che ogni studente può produrre da sé:

• Obiettivo 1: redigere, senza consultare la lezione, la dimostrazione di un teorema del corso, come il teorema del coseno, la formula di De Moivre o l’unicità della matrice inversa.
• Obiettivo 2: dimostrare un’identità trigonometrica non banale e risolvere un’equazione trigonometrica dandone la soluzione generale.
• Obiettivo 3: classificare la conica che definisce un’equazione di secondo grado con termine misto, ruotando gli assi, ed esprimere una rotazione del piano come prodotto per un complesso e come matrice.
• Obiettivo 4: calcolare le radici $n$-esime di un complesso, rappresentarle nel piano e risolvere un’equazione cubica con la formula di Cardano.
• Obiettivo 5: risolvere un sistema lineare con parametro, discutendo i casi mediante il rango, e decidere se una struttura algebrica data è un gruppo, un anello o un campo.
• Obiettivo 6: trovare la posizione reciproca di due rette dello spazio e la distanza tra loro, e il volume di un tetraedro dato mediante i suoi vertici.
• Obiettivo 7: scrivere la soluzione completa di un problema di modellizzazione, con impostazione, svolgimento, risposta e controllo di plausibilità, in modo che un’altra persona possa seguirla senza spiegazioni aggiuntive.

Come studiare questo corso

Il corso è pensato per essere studiato in ordine. Ogni unità presuppone quelle anteriori e il corso I, e molte dimostrazioni citano risultati di lezioni anteriori, dell’uno o dell’altro corso; saltare una lezione obbliga, prima o poi, a tornarci sopra.

Ogni unità ha due punti di controllo. La valutazione d’ingresso, all’inizio dell’introduzione, è il punto di partenza: conviene rispondervi prima di studiare l’unità, senza consultare nulla, e annotare le lezioni a cui rinviano gli errori, che sono quelle che chiedono più cura. La valutazione d’uscita, nella sintesi e prima delle sfide, è il confronto: vi si risponde al termine delle lezioni, anch’essa senza consultare, e si confronta con quella d’ingresso per vedere che cosa è cambiato e quali lezioni conviene ripassare. In entrambe conta il primo tentativo, che è quello che si confronta e quello che riunisce il profilo del bilancio finale; i tentativi ulteriori si fanno ormai con la retroazione vista. Le sfide completano la verifica, perché esigono di combinare e redigere ciò che le domande brevi toccano soltanto. Ne segue che chi crede di padroneggiare già un’unità non deve deciderlo in base a una sola prova: se la sua valutazione d’uscita è solida e risolve le sfide della sintesi, può passare all’unità dopo; altrimenti, conviene percorrere le lezioni che l’una e le altre indicano.

In ogni lezione, conviene leggere prima il riassunto e gli obiettivi, che dicono che cosa si cerca; studiare poi la teoria con carta e matita, cercando di anticipare ogni passo delle dimostrazioni prima che il riproduttore lo scriva; tentare i problemi risolti prima di guardarne la soluzione, e risolvere i proposti senza aiuto, aprendo il suggerimento solo quando il tentativo si sia esaurito, e la risposta solo alla fine, per verificare. Un problema la cui risposta si è consultata prima di tentarlo non è stato risolto, ma letto.

Le sfide sono più difficili dei problemi delle lezioni, ed è normale che alcune richiedano diversi tentativi in giorni diversi. Non conviene fermarsi indefinitamente su una: annotarla, continuare ad avanzare e tornarci più tardi è, spesso, il cammino più breve. Ora, l’impegno stimato presuppone che tutte si tentino con serietà, e in questo sforzo si gioca molto di ciò che il corso può insegnare.

Infine, conviene scrivere. Redigere una dimostrazione o una soluzione completa, con le sue premesse e le sue conclusioni, è l’unico modo di sapere se si è capito, ed è anche il settimo degli obiettivi del corso. Un quaderno di studio, in cui si riscrivano con parole proprie le definizioni e i teoremi di ogni unità, è il miglior materiale di ripasso che il corso possa lasciare, e lo sarà ancor più in Analisi I, che tornerà su quasi tutto ciò che qui si dimostra.