Vai al contenuto
Topos Uranos
Italiano

Funzioni trigonometriche e coordinate polari: introduzione

Riepilogo

Questa lezione apre il corso di Algebra e Geometria II e la sua prima unità, dedicata alle funzioni trigonometriche e alle coordinate polari. Propone una valutazione d’ingresso, che misura il punto di partenza nelle sei lezioni dell’unità e in ciò che questa dà per noto dal corso I. Raccoglie ciò che il corso I lascia stabilito e presenta le sei lezioni dell’unità nell’ordine in cui si studiano, dalla misura degli angoli fino alle curve polari e alle coniche con un fuoco nel polo, e spiega che cosa dimostra ciascuna e perché è importante. Ricostruisce poi il contesto storico: l’astronomia greca, che aveva bisogno di misurare l’inaccessibile e compilò le tavole delle corde degli archi; la metà della corda dell’arco doppio, che gli astronomi dell’India posero al centro del calcolo e che, attraverso le traduzioni arabe e latine, ricevette il nome di seno; la trigonometria come disciplina indipendente, e la sua trasformazione, nel XVIII secolo, nello studio di funzioni di una variabile reale. Formula il problema che le diede origine, quello di calcolare distanze a partire da angoli, con il triangolo di Aristarco di Samo, e termina indicando dove si usano queste idee nel resto del corso, in altri corsi del sito e nella scienza e nella tecnica.

Obiettivi di apprendimento

  1. Descrivere il contenuto dell’unità, collocando ciascuna delle sue lezioni in una successione che va dalla misura degli angoli alle curve polari.
  2. Spiegare l’origine astronomica e geodetica della trigonometria e delle coordinate polari, e riconoscerne le tappe principali, dalla tavola delle corde alle funzioni di una variabile reale.
  3. Esprimere la corda di un arco mediante il seno dell’arco metà, e impostare il problema di Aristarco come il calcolo di un quoziente di distanze a partire da un angolo.
  4. Individuare i luoghi del corso, di altri corsi e della scienza e della tecnica in cui si impiegano le funzioni trigonometriche e le coordinate polari.

Valutazione d’ingresso

Prima di percorrere l’unità conviene misurare il punto di partenza, senza alcun voto. Le prime dieci domande toccano le sei lezioni di contenuto dell’unità: due per le funzioni inverse e due per la risoluzione dei triangoli, che sono le lezioni su cui il resto del corso poggia di più; due per le funzioni trigonometriche e i loro grafici, una delle quali è un problema in contesto da impostare; due per le coordinate polari, una delle quali sull’equazione polare delle coniche; e una per ciascuna delle altre due lezioni. Le stesse abilità si misurano di nuovo alla fine, nella lezione di sintesi. Le ultime sei verificano ciò che il corso suppone noto dal corso I: la completezza dei numeri reali, l’inversa di una funzione, la retta tangente a una circonferenza e il prodotto scalare, l’eccentricità di un’ellisse, l’esponenziale e il logaritmo attraverso il coseno iperbolico, e il quoziente di due numeri complessi in forma algebrica. Chi sbaglia una di esse saprà a quale lezione del corso I conviene tornare prima di cominciare, e chi sbaglia una delle prime dieci, su quale lezione dell’unità soffermarsi.

Valutazione d’ingresso

Prima di iniziare l’unità, misura il tuo punto di partenza. È un’autovalutazione breve: non riceve voto e il risultato resta solo nel tuo browser.

  1. Domanda 1In una circonferenza di raggio 99, quanto misura l’arco su cui insiste un angolo al centro di 40∘40^\circ?

  2. Domanda 2Se sin⁡θ=35\sin \theta = \frac{3}{5} e θ\theta sta nel secondo quadrante, calcolare tan⁡θ\tan \theta.

  3. Domanda 3Qual è il periodo minimo della funzione f(x)=3sin⁡(4x−π)+1f(x) = 3 \sin(4x - \pi) + 1?

  4. Domanda 4Una massa appesa a una molla oscilla verticalmente. La sua altezza dal suolo varia come una sinusoide del tempo, tra 2020 e 6060 centimetri, con un periodo di 44 secondi, e raggiunge il punto più alto nell’istante t=1t = 1. Quanti secondi di ogni oscillazione trascorre a più di 5050 centimetri dal suolo?

  5. Domanda 5Quanto vale arccos⁡(−32)\arccos\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)?

  6. Domanda 6Quanto vale arcsin⁡(sin⁡5π7)\arcsin\left( \sin \frac{5\pi}{7} \right)?

  7. Domanda 7In un triangolo, b=5b = 5, c=8c = 8 e l’angolo compreso misura A=60∘A = 60^\circ. Calcolare il lato aa.

  8. Domanda 8Quanti triangoli esistono con A=30∘A = 30^\circ, c=10c = 10 e a=6a = 6?

  9. Domanda 9Quali sono le coordinate polari, con r>0r > 0 e θ\theta in (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}, del punto di coordinate cartesiane (−1,3)\left( -1, \sqrt{3} \right)?

  10. Domanda 10La curva di equazione polare r=215+2cos⁡θr = \frac{21}{5 + 2 \cos \theta} ha un fuoco nel polo. Che curva è?

  11. Domanda 11Dalle unità precedentiQual è l’estremo superiore dell’insieme A={1−1n:n∈N}A = \left\{ 1 - \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \right\}?

  12. Domanda 12Dalle unità precedentiQuale di queste restrizioni della funzione f(x)=x2f(x) = x^2 ha funzione inversa?

  13. Domanda 13Dalle unità precedentiQual è l’equazione della retta tangente alla circonferenza x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 nel suo punto (3,4)(3, 4)?

  14. Domanda 14Dalle unità precedentiQual è l’eccentricità dell’ellisse x225+y29=1\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1?

  15. Domanda 15Dalle unità precedentiSe t>0t > 0 e cosh⁡t=54\cosh t = \frac{5}{4}, quanto vale tt?

  16. Domanda 16Dalle unità precedentiQuanto vale il quoziente 5+5i1+2i\frac{5 + 5i}{1 + 2i}?

I contenuti dell’unità

Con questa unità comincia il corso di Algebra e Geometria II, che presuppone completato il corso Algebra e Geometria I. Da questo riprende cinque cose che qui si impiegano senza dimostrarle di nuovo. La prima sono i numeri reali come campo ordinato completo, con la proprietà archimedea e la densità dei razionali, che permetteranno di ridurre ogni angolo al primo giro e di estendere a tutti gli angoli ciò che si dimostra per quelli razionali. La seconda è lo studio delle funzioni: dominio, insieme immagine, composizione, inversa di una funzione biiettiva e trasformazioni di grafici, con le tabelle dei segni e la scomposizione dei polinomi. La terza è la geometria analitica del piano: la distanza, la retta in forma cartesiana e parametrica, i vettori con il prodotto scalare, la circonferenza e le coniche con il loro fuoco e la loro direttrice. La quarta sono le funzioni esponenziale, logaritmica e iperboliche, la cui parametrizzazione dell’iperbole anticipa quella della circonferenza. La quinta sono i numeri complessi in forma algebrica, rappresentati come punti del piano, che questa unità prepara a scriversi con un modulo e un angolo.

Ora, nessuno di quegli strumenti risponde a una domanda molto antica: dato un angolo, quale quoziente hanno tra loro i lati di un triangolo rettangolo che lo contiene? Questa unità vi risponde, e dalla risposta nascono sei funzioni di una variabile reale, le loro inverse, la risoluzione di tutti i triangoli e un secondo modo di nominare i punti del piano. Le lezioni si susseguono così.

  1. Gli angoli e la loro misura definisce gli angoli orientati, che misurano rotazioni con il loro senso e possono superare il giro, enuncia l’assioma del percorso della circonferenza per lunghezza d’arco, su cui poggia tutta l’unità, e definisce con esso la misura in radianti come lunghezza dell’arco della circonferenza goniometrica; dimostra le formule dell’arco e del settore, il teorema dell’angolo alla circonferenza e la riduzione di ogni angolo al primo giro, che è la divisione con resto dei numeri reali per 2π2\pi. È importante perché il radiante è la misura che rende semplici tutte le formule posteriori.
  2. I rapporti trigonometrici e la circonferenza goniometrica definisce il seno, il coseno e la tangente dapprima nel triangolo rettangolo, dimostrando per similitudine che non dipendono dal triangolo, e poi per ogni numero reale, come coordinate di un punto della circonferenza goniometrica; dimostra l’identità pitagorica, i valori notevoli e le simmetrie. È il momento decisivo dell’unità: trasforma un rapporto geometrico in una quantità definita per qualsiasi angolo.
  3. Le funzioni trigonometriche e i loro grafici studia il seno, il coseno e la tangente come funzioni, dimostra i loro periodi minimi, ne costruisce i grafici e dimostra, confrontando aree, la disuguaglianza sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x. Con le sinusoidi fornisce il modello di tutti i fenomeni periodici.
  4. Le funzioni trigonometriche inverse deduce dall’assioma del percorso che il coseno e il seno sono strettamente monotoni in certi intervalli, vi restringe le funzioni, definisce l’arcoseno, l’arcocoseno e l’arcotangente, e risolve le equazioni elementari in un giro. Permette di percorrere il cammino inverso: da un rapporto noto all’angolo che lo produce.
  5. La risoluzione dei triangoli dimostra l’area in funzione di due lati e dell’angolo compreso, il teorema dei seni, il teorema del coseno e la formula di Erone, e discute il caso ambiguo. Estende la trigonometria del triangolo rettangolo a tutti i triangoli e misura, con il prodotto scalare, l’angolo tra due vettori.
  6. Le coordinate polari e le curve polari individua ogni punto mediante la sua distanza dal polo e un angolo, deduce le formule di passaggio alle coordinate cartesiane, traccia cardioidi, rose, spirali e lumache, e ottiene l’equazione polare delle coniche con un fuoco nel polo. Prepara la forma polare dei numeri complessi e la descrizione delle orbite.

L’unità termina con la lezione di sintesi e sfide, che riunisce ciò che si è dimostrato, misura con una valutazione d’uscita ciò che si è ottenuto rispetto alla valutazione d’ingresso di questa lezione e propone dieci problemi di maggiore difficoltà.

Contesto storico

La trigonometria non nacque come un capitolo dell’algebra, ma come una tecnica dell’astronomia. Per predire la posizione degli astri e misurare distanze che non si possono percorrere, gli astronomi avevano bisogno di passare dagli angoli, che si osservano, alle lunghezze, che si calcolano; e la geometria greca, che sapeva costruire figure con riga e compasso, non offriva alcun mezzo per calcolare, dato un angolo arbitrario, il rapporto tra due lati di un triangolo.

La tavola delle corde

L’astronomia greca ereditò da quella babilonese la divisione della circonferenza in 360360 gradi e il calcolo in base sessanta. Verso il III secolo prima della nostra era, Aristarco di Samo stimò con argomenti geometrici il rapporto tra le distanze del Sole e della Luna, ed Eratostene misurò la circonferenza della Terra a partire da un angolo, come si vedrà nella lezione sugli angoli e la loro misura. A Ipparco di Nicea, nel II secolo prima della nostra era, si attribuisce la prima tavola delle corde: per ogni angolo al centro, la lunghezza della corda che esso sottende in una circonferenza di raggio fisso. La tavola che ci è giunta è quella di Claudio Tolomeo, che nell’Almagesto, nel II secolo della nostra era, diede le corde degli archi di mezzo grado in mezzo grado in una circonferenza di raggio 6060. Menelao di Alessandria, verso l’anno 100, aveva esteso il calcolo ai triangoli tracciati sulla sfera celeste.

La corda e il seno sono la stessa informazione scritta in due modi. La proposizione che segue lo precisa, e mostra perché il passaggio dall’una all’altro fu qualcosa di più di un cambiamento di nome: il seno è la metà della corda dell’arco doppio, ed è un cateto di un triangolo rettangolo.

ProposizioneLa corda e il seno

Nella circonferenza di raggio 11 e centro OO, sia C(θ)C(\theta) la lunghezza della corda che unisce gli estremi AA e BB di un arco di angolo al centro θ\theta, con 0<θ<π0 < \theta < \pi. Allora C(θ)=2sin⁡θ2C(\theta) = 2 \sin \frac{\theta}{2}.

Dimostrazione

  1. C(θ)=d⁡(A,B),d⁡(O,A)=d⁡(O,B)=1C(\theta) = \operatorname{d}(A, B), \quad \operatorname{d}(O, A) = \operatorname{d}(O, B) = 1

    La corda è il lato opposto all’angolo θ\theta nel triangolo di vertici OO, AA e BB, i cui altri due lati sono raggi.

  2. d⁡(A,M)=d⁡(M,B),∠AOM=∠MOB=θ2\operatorname{d}(A, M) = \operatorname{d}(M, B), \quad \angle AOM = \angle MOB = \dato{m}{\frac{\theta}{2}}

    Il triangolo è isoscele; la perpendicolare condotta da OO alla corda la taglia nel suo punto medio MM e divide l’angolo al centro in due angoli uguali, perché i triangoli di vertici OO, MM, AA e OO, MM, BB sono rettangoli in MM, hanno uguali gli angoli in AA e in BB, essendo isoscele il triangolo, e hanno in comune il lato OMOM: per il criterio di similitudine dei due angoli sono simili con rapporto 11.

  3. d⁡(M,B)=sin⁡θ2→C(θ)=2sin⁡θ2\operatorname{d}(M, B) = \resaltar{\sin \frac{\theta}{2}} \rightarrow \dato{c}{C(\theta) = \resaltar{2 \sin \frac{\theta}{2}}}

    Nel triangolo rettangolo di vertici OO, MM e BB, l’ipotenusa misura 11 e il cateto opposto all’angolo θ2\frac{\theta}{2} è la metà della corda; per la definizione del seno, quel cateto è sin⁡θ2\sin \frac{\theta}{2}.

  4. sin⁡α=12C(2α),60C(θ)=120sin⁡θ2\sin \alpha = \frac{1}{2} C(2\alpha), \qquad 60 C(\theta) = 120 \sin \frac{\theta}{2}

    Letta al contrario, con θ=2α\theta = 2\alpha, l’uguaglianza dice che il seno di un angolo è la metà della corda dell’angolo doppio; nella circonferenza di raggio 6060 di Tolomeo tutte le lunghezze si moltiplicano per 6060.

Dal mezzo arco al seno

Gli astronomi dell’India, come Aryabhata verso l’anno 500, compilarono direttamente le tavole della metà della corda dell’arco doppio, che chiamarono jya, e con ciò posero al centro del calcolo un cateto di un triangolo rettangolo invece di una corda. La parola passò in arabo come jiba, che nella scrittura senza vocali fu confusa con jaib, «piega» o «seno» di una veste, e i traduttori latini del XII secolo la resero con sinus, da cui deriva il nome attuale. Gli astronomi del mondo islamico, tra il IX e l’XI secolo, tra i quali al-Battani e Abu al-Wafa, aggiunsero le tavole della tangente e della cotangente, che provenivano dallo studio delle ombre delle meridiane; nel XIII secolo, Nasir al-Din al-Tusi espose la trigonometria come una disciplina indipendente dall’astronomia.

La trigonometria come disciplina

In Europa, Regiomontano redasse verso il 1464 un trattato sui triangoli di ogni specie, stampato nel 1533, che riuniva la risoluzione dei triangoli piani e sferici; la parola trigonometria, «misura dei triangoli», compare nel titolo di un’opera di Bartholomaeus Pitiscus del 1595. Il teorema del coseno ha una storia più lunga: Euclide, nel libro II degli Elementi, aveva già corretto il teorema di Pitagora per i triangoli acutangoli e ottusangoli mediante il doppio di un rettangolo, formato da un lato e dalla proiezione dell’altro su di esso, che oggi si scrive 2bccos⁡A2bc \cos A a meno del segno, e nel XV secolo al-Kashi gli diede una forma adatta al calcolo. La formula di Erone, dal canto suo, figura nella Metrica di Erone di Alessandria, nel I secolo.

Dai rapporti alle funzioni

Per secoli, il seno di un angolo fu una lunghezza in una circonferenza di raggio convenzionale, sessanta o vari milioni, secondo la tavola. Il calcolo infinitesimale del XVII secolo mostrò che le formule si semplificano se il raggio è 11 e gli angoli si misurano con la lunghezza del loro arco, e Leonhard Euler, nella sua Introductio in analysin infinitorum del 1748, trattò il seno e il coseno come funzioni di una variabile reale, definite sulla circonferenza goniometrica, che è il punto di vista di questa unità; il nome di radiante per l’unità di misura corrispondente fu coniato nella seconda metà del XIX secolo. All’inizio del XIX secolo, Joseph Fourier sostenne, nella sua teoria analitica del calore pubblicata nel 1822, che una funzione periodica molto generale si può scrivere come somma di seni e coseni, e le funzioni trigonometriche divennero il linguaggio di tutti i fenomeni periodici.

Le coordinate polari

L’idea di descrivere un punto mediante la sua distanza da un centro e un angolo è antica quanto l’astronomia, e Archimede, nel III secolo prima della nostra era, definì la sua spirale proprio così: un punto che si allontana a velocità costante da un centro mentre la semiretta che lo porta ruota a velocità costante. Come sistema di coordinate, tuttavia, compaiono nel XVII secolo: Bonaventura Cavalieri e Grégoire de Saint-Vincent le usarono per studiare spirali, Isaac Newton le incluse tra i sistemi con cui descriveva curve, e Jakob Bernoulli le impiegò nei suoi lavori della fine di quel secolo; Euler le sistematizzò nel XVIII secolo. Nel frattempo, Johannes Kepler aveva pubblicato nel 1609 che l’orbita di Marte è un’ellisse con il Sole in uno dei suoi fuochi, e l’equazione polare delle coniche con un fuoco nel polo, che chiude questa unità, è la forma naturale di quella legge.

Il problema che diede loro origine

Il problema comune a tutti questi sviluppi si può enunciare così: noti alcuni angoli e alcune lunghezze di una figura, calcolare le altre. La sua forma più semplice è il triangolo rettangolo. Per similitudine, il quoziente tra due lati dipende solo dall’angolo acuto α\alpha, ed è quindi una funzione di α\alpha; ma tale funzione non è algebrica, non si ottiene da α\alpha con somme, prodotti né radici, e per questo fu necessario tabularla. L’esempio che segue, il primo tentativo noto di misurare il sistema solare, mostra il problema allo stato puro.

EsempioIl triangolo di Aristarco

Quando la Luna si vede esattamente al quarto, la metà illuminata del suo disco si vede di profilo, e il Sole, la Luna e la Terra formano un triangolo rettangolo nella Luna. Aristarco misurò, dalla Terra, l’angolo α\alpha tra le direzioni della Luna e del Sole, e ottenne 87∘87^\circ. Siano TT, LL e SS la Terra, la Luna e il Sole.

Dimostrazione

  1. d⁡(T,S)2=d⁡(T,L)2+d⁡(L,S)2{\operatorname{d}(T, S)}^2 = {\operatorname{d}(T, L)}^2 + {\operatorname{d}(L, S)}^2

    Il triangolo di vertici TT, LL e SS è rettangolo in LL: la distanza dalla Terra al Sole è l’ipotenusa.

  2. d⁡(T,S)d⁡(T,L)=1cos⁡α=sec⁡α\frac{\operatorname{d}(T, S)}{\operatorname{d}(T, L)} = \resaltar{\frac{1}{\cos \alpha}} = \dato{s}{\resaltar{\sec \alpha}}

    Il cateto adiacente all’angolo α\alpha è la distanza dalla Luna; per la definizione del coseno, il quoziente tra la distanza dal Sole e la distanza dalla Luna dipende solo da α\alpha.

  3. α=87∘→18<sec⁡87∘<20\alpha = 87^\circ \rightarrow 18 < \sec 87^\circ < 20

    Senza tavole dei coseni, Aristarco limitò il quoziente con argomenti geometrici e concluse che il Sole è tra 1818 e 2020 volte più lontano della Luna. La secante di 87∘87^\circ vale circa 19,1, entro i suoi limiti.

  4. α→90∘→sec⁡α→∞\alpha \to 90^\circ \rightarrow \sec \alpha \to \infty

    Il metodo era corretto, ma il dato no: l’angolo vero differisce dall’angolo retto per meno di un sesto di grado, e il quoziente vero si aggira intorno a 390390. Quando α\alpha si avvicina a un angolo retto, il Sole si allontana senza limite lungo la retta che passa per la Luna, e un errore minimo nell’angolo produce un errore enorme nella distanza.

Poiché il Sole e la Luna hanno quasi la stessa grandezza apparente, come mostrano le eclissi totali di Sole, il ragionamento di Aristarco dava anche il rapporto tra i loro diametri, e con esso la conclusione che il Sole è molto più grande della Terra. L’esempio contiene in germe tutta l’unità: un rapporto tra lati che dipende da un angolo, la necessità di conoscere tale dipendenza con precisione, e l’osservazione che certe funzioni crescono senza limite vicino a valori isolati dell’angolo, il che è l’asintoto verticale della secante studiato nella lezione sulle funzioni trigonometriche e i loro grafici.

Lo stesso problema si presenta in altri due modi, che danno origine alle restanti lezioni dell’unità. Il primo è inverso: si conosce il rapporto e si cerca l’angolo, come quando si misura la pendenza di una strada e se ne vuole conoscere l’inclinazione; rispondervi richiede di invertire funzioni che non sono iniettive, ed è questo il compito delle funzioni trigonometriche inverse. Il secondo è quello di descrivere ciò che ruota: un pianeta intorno al Sole, una ruota, un’onda che si ripete. Per questo conviene individuare i punti mediante la loro distanza da un centro e la loro direzione, e non mediante le loro distanze da due assi, ed esprimere il moto periodico con funzioni che si ripetono; così nascono le coordinate polari e le sinusoidi.

Rilevanza

Nel resto di questo corso, l’unità 2, che comincia con la lezione sulle identità trigonometriche fondamentali, dimostra le formule del seno e del coseno di una somma, risolve in generale le equazioni trigonometriche e, mediante la rotazione degli assi, classifica tutte le equazioni di secondo grado in due variabili. L’unità 3, dedicata ai numeri complessi in forma polare, scrive ogni numero complesso con il suo modulo e il suo angolo, come nella lezione sulla forma polare dei numeri complessi, e riduce le potenze e le radici a moltiplicare moduli e sommare angoli; l’unità 4 rappresenta le rotazioni del piano mediante matrici i cui elementi sono seni e coseni, nella lezione sulle matrici come trasformazioni del piano; e l’unità 5, sulla geometria analitica dello spazio, misura l’angolo tra due vettori dello spazio mediante il suo coseno, nella lezione sui vettori nello spazio e il prodotto scalare, e lo impiega per calcolare angoli tra rette e piani.

In altri corsi del sito, la disuguaglianza sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x è il punto di partenza del calcolo della derivata del seno nel corso di Analisi I, e le lunghezze di archi, le aree delimitate da curve polari e le sostituzioni trigonometriche si studiano nel corso di Analisi II. Il corso di Fondamenti di Meccanica scompone forze e velocità in componenti mediante il seno e il coseno, e studia il moto circolare con la relazione tra la velocità angolare e quella lineare. Nel corso di Programmazione in C++ I, le librerie matematiche del linguaggio offrono, oltre al seno, al coseno e all’arcotangente, una funzione di due argomenti che restituisce l’angolo polare di un punto tra −π-\pi e π\pi, con la stessa correzione secondo il quadrante che si dimostra in questa unità.

Fuori dalla matematica, la trigonometria è lo strumento della topografia, della navigazione e della geodesia, che misurano il terreno per triangolazione; le coordinate polari sono quelle dei radar e dei sistemi che localizzano un oggetto mediante la sua distanza e la sua rotta; e le sinusoidi sono il linguaggio dell’acustica, della corrente alternata, delle telecomunicazioni e dell’elaborazione dei segnali e delle immagini, che scompongono ogni segnale in oscillazioni semplici seguendo l’idea di Fourier.