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Topos Uranos
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Le funzioni trigonometriche inverse

Riepilogo

Questa lezione costruisce le inverse del seno, del coseno e della tangente. Poiché queste funzioni sono periodiche, non sono iniettive, e per invertirle bisogna restringerle a un intervallo in cui assumano ogni valore una sola volta: il seno a [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, il coseno a [0,π]\icc{0}{\pi} e la tangente a (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}. Deduce dall’assioma del percorso per lunghezza d’arco, che afferma che l’ascissa del punto percorso decresce strettamente lungo il primo mezzo giro, che il coseno è strettamente decrescente in [0,π]\icc{0}{\pi}; da ciò e dalle simmetrie dimostra che il seno e la tangente sono strettamente crescenti nei loro intervalli, e che le tre restrizioni sono biiettive; definisce l’arcoseno, l’arcocoseno e l’arcotangente, e ne ottiene i grafici come riflessi rispetto alla retta y=xy = x. Dimostra poi le identità che li collegano, distingue con cura sin⁡(arcsin⁡x)=x\sin(\arcsin x) = x, sempre vera, da arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x, vera solo nell’intervallo principale, e risolve le equazioni sin⁡x=c\sin x = c, cos⁡x=c\cos x = c e tan⁡x=c\tan x = c in un giro completo.

Obiettivi di apprendimento

  1. Dedurre dall’assioma del percorso la monotonia stretta del coseno e del seno nei loro intervalli principali, dimostrare con essa quella della tangente, e definire le tre inverse con i loro domini e insiemi immagine.
  2. Costruire i grafici dell’arcoseno, dell’arcocoseno e dell’arcotangente come riflessi rispetto alla retta y=xy = x, e calcolarne i valori nei punti notevoli.
  3. Dimostrare le identità di composizione, di simmetria e degli angoli complementari delle funzioni inverse, e semplificare espressioni che combinano funzioni trigonometriche con le loro inverse.
  4. Risolvere le equazioni trigonometriche elementari nell’intervallo [0,2π)\ico{0}{2\pi} mediante le funzioni inverse e le simmetrie della circonferenza goniometrica.

La restrizione delle funzioni trigonometriche

Secondo la lezione del corso I sulle operazioni tra funzioni, una funzione ha inversa se e solo se è biiettiva, e allora il grafico dell’inversa è il riflesso del suo rispetto alla retta y=xy = x. Ora, le funzioni trigonometriche studiate nella lezione sulle funzioni trigonometriche e i loro grafici non sono iniettive: il seno e il coseno hanno periodo 2π2\pi, e la tangente periodo π\pi, sicché ogni valore si ripete infinite volte. Di più, all’interno di uno stesso periodo i valori si ripetono: per la simmetria degli angoli supplementari, dimostrata nella lezione sui rapporti trigonometrici, vale sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x. Se è così, per invertire queste funzioni bisogna restringerle a un intervallo in cui siano iniettive e in cui assumano tutti i loro valori. Si scelgono intervalli che contengano gli angoli acuti e in cui la funzione sia strettamente monotona.

TeoremaMonotonia negli intervalli principali

Il coseno è strettamente decrescente in [0,π]\icc{0}{\pi}; il seno è strettamente crescente in [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, e la tangente è strettamente crescente in (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.

Si usa la definizione del seno e del coseno mediante il punto P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right) della circonferenza goniometrica, dalla lezione sui rapporti trigonometrici, e l’assioma del percorso per lunghezza d’arco, ammesso nella lezione sugli angoli e la loro misura. La monotonia del coseno è la traduzione della proprietà del mezzo giro di quell’assioma; quella del seno e quella della tangente si dimostrano a partire da essa.

Dimostrazione

  1. 0≤α<β≤π0 \leq \alpha < \beta \leq \pi

    Siano α\alpha e β\beta con 0≤α<β≤π0 \leq \alpha < \beta \leq \pi. I punti P(α)P(\alpha) e P(β)P(\beta) sono gli estremi degli archi di lunghezze α\alpha e β\beta che partono da (1,0)(1, 0) in senso antiorario, ed entrambi stanno nel primo mezzo giro del percorso, che copre la semicirconferenza superiore.

  2. 0≤α<β≤π→cos⁡α>cos⁡β\dato{c}{0 \leq \alpha < \beta \leq \pi \rightarrow \cos \alpha > \cos \beta}

    Per la proprietà del mezzo giro dell’assioma, durante il primo mezzo giro l’ascissa del punto percorso decresce strettamente: quella di P(α)P(\alpha) è maggiore di quella di P(β)P(\beta). Poiché il coseno è, per definizione, l’ascissa di P(θ)P(\theta), la disuguaglianza tra le ascisse è una disuguaglianza tra coseni.

  3. sin⁡α=cos⁡(π2−α)<cos⁡(π2−β)=sin⁡β\sin \alpha = \resaltar{\cos\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)} < \resaltar{\cos\left( \frac{\pi}{2} - \beta \right)} = \dato{s}{\sin \beta}

    Siano ora −π2≤α<β≤π2-\frac{\pi}{2} \leq \alpha < \beta \leq \frac{\pi}{2}. I loro complementari soddisfano π2−β<π2−α\frac{\pi}{2} - \beta < \frac{\pi}{2} - \alpha e stanno in [0,π]\icc{0}{\pi}; per la simmetria degli angoli complementari, il seno di un angolo è il coseno del suo complementare, e poiché il coseno decresce in [0,π]\icc{0}{\pi}, il seno cresce in [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.

  4. tan⁡α=sin⁡αcos⁡α<sin⁡βcos⁡α<sin⁡βcos⁡β=tan⁡β\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} < \frac{\resaltar{\sin \beta}}{\cos \alpha} < \frac{\sin \beta}{\resaltar{\cos \beta}} = \dato{t}{\tan \beta}

    Per la tangente, siano 0≤α<β<π20 \leq \alpha < \beta < \frac{\pi}{2}. Per i passi già visti, 0≤sin⁡α<sin⁡β0 \leq \sin \alpha < \sin \beta e cos⁡α>cos⁡β>cos⁡π2=0\cos \alpha > \cos \beta > \cos \frac{\pi}{2} = 0. Aumentando prima il numeratore e diminuendo poi il denominatore, entrambi positivi, il quoziente aumenta.

  5. tan⁡α=−tan⁡(−α)<−tan⁡(−β)=tan⁡β\tan \alpha = \resaltar{-\tan(-\alpha)} < \resaltar{-\tan(-\beta)} = \tan \beta

    La tangente è dispari, perché è il quoziente del seno, dispari, per il coseno, pari. Se −π2<α<β≤0-\frac{\pi}{2} < \alpha < \beta \leq 0, gli opposti soddisfano 0≤−β<−α0 \leq -\beta < -\alpha, e cambiando segno si inverte la disuguaglianza del passo appena visto; se α<0<β\alpha < 0 < \beta, la tangente è negativa in α\alpha e positiva in β\beta. Pertanto, la tangente cresce in tutto l’intervallo (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.

Le restrizioni biiettive

Ogni funzione strettamente monotona è iniettiva, secondo il teorema delle funzioni monotone della lezione sulle operazioni tra funzioni. Resta da vedere che ogni restrizione assuma tutti i valori del suo insieme immagine.

TeoremaRestrizioni biiettive

Il seno, ristretto a [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, è una biiezione su [−1,1]\icc{-1}{1}; il coseno, ristretto a [0,π]\icc{0}{\pi}, è una biiezione su [−1,1]\icc{-1}{1}, e la tangente, ristretta a (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, è una biiezione su R\mathbb{R}.

L’iniettività segue dal teorema appena dimostrato. Che ogni restrizione assuma tutti i suoi valori segue dalla proprietà di ricoprimento dell’assioma del percorso, secondo cui ogni punto della circonferenza goniometrica è l’estremo di un arco che comincia in (1,0)(1, 0), e dal lemma secondo cui un giro non ripete punti, entrambi della lezione sugli angoli e la loro misura.

Dimostrazione

  1. 0≤α<β≤π→cos⁡α≠cos⁡β0 \leq \alpha < \beta \leq \pi \rightarrow \resaltar{\cos \alpha \neq \cos \beta}

    Per il teorema appena dimostrato, le tre restrizioni sono strettamente monotone, e ogni funzione strettamente monotona è iniettiva: due angoli distinti della semicirconferenza superiore hanno ascisse distinte.

  2. Q=(c,1−c2),c2+(1−c2)2=1→Q=P(θ)Q = \left( c, \sqrt{1 - c^2} \right), \quad \resaltar{c^2 + \left( \sqrt{1 - c^2} \right)^2 = 1} \rightarrow \dato{q}{Q = P(\theta)}

    Sia cc con −1≤c≤1-1 \leq c \leq 1. Il punto QQ seguente sta sulla circonferenza goniometrica; per il ricoprimento e perché un giro non ripete punti, è P(θ)P(\theta) per un unico θ\theta in [0,2π)\ico{0}{2\pi}.

  3. sin⁡θ=1−c2≥0→θ∈[0,π],cos⁡θ=c\sin \theta = \sqrt{1 - c^2} \geq 0 \rightarrow \theta \in \icc{0}{\pi}, \quad \dato{c}{\cos \theta = c}

    L’ordinata di QQ non è negativa, e il seno è negativo in (π,2π)\ioo{\pi}{2\pi}, secondo i segni nei quadranti della lezione sui rapporti trigonometrici: quel θ\theta sta in [0,π]\icc{0}{\pi}, e il suo coseno è cc. Il coseno ristretto assume tutti i valori di [−1,1]\icc{-1}{1}.

  4. sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ=c,π2−θ∈[−π2,π2]\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \resaltar{\cos \theta} = \resaltar{c}, \quad \frac{\pi}{2} - \theta \in \icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}

    Per la simmetria degli angoli complementari, il seno di π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta è il coseno di θ\theta, e quando θ\theta percorre [0,π]\icc{0}{\pi}, il suo complementare percorre [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}: anche il seno ristretto assume tutti i valori di [−1,1]\icc{-1}{1}.

  5. tan⁡x=m,x−kπ∈(−π2,π2),tan⁡(x−kπ)=m\tan x = m, \quad x - k\pi \in \ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, \quad \tan(x - k\pi) = m

    Per la tangente, il teorema delle sue proprietà, della lezione sulle funzioni trigonometriche e i loro grafici, dice che il suo insieme immagine è R\mathbb{R}: dato mm, la retta di coefficiente angolare mm per l’origine taglia la semicirconferenza destra in un punto P(x)P(x) con xx compreso tra −π2-\frac{\pi}{2} e π2\frac{\pi}{2}. Lo si vede anche dalla periodicità: se tan⁡x=m\tan x = m, sottraendo a xx un multiplo intero di π\pi, come nella riduzione al primo giro, si ottiene un numero di quell’intervallo con la stessa tangente.