Risoluzione dei triangoli: teoremi dei seni e del coseno

Notazione e fatti già noti

Nella lezione sui rapporti trigonometrici il seno, il coseno e la tangente di un angolo acuto sono stati definiti come quozienti fra i lati di un triangolo rettangolo, e sono stati poi estesi a ogni angolo mediante la circonferenza goniometrica. Un triangolo rettangolo si risolve, dunque, con questi rapporti e con il teorema di Pitagora. Ora, la maggioranza dei triangoli che compaiono nella geometria e nella misura del terreno non ha alcun angolo retto; lo scopo di questa lezione è risolverli tutti.

In un triangolo di vertici $A$, $B$ e $C$, la stessa lettera maiuscola indica il vertice e la misura dell’angolo interno del triangolo in quel vertice, e la lettera minuscola corrispondente indica la lunghezza del lato opposto: $a$ è la lunghezza del lato $BC$, $b$ quella del lato $CA$ e $c$ quella del lato $AB$. L’area del triangolo si indica con $S$, e la distanza fra due punti $P$ e $Q$ con $\operatorname{d}(P, Q)$. Come d’uso nella risoluzione dei triangoli, gli angoli si esprimono in gradi. Ora, le funzioni trigonometriche sono definite per numeri reali, che sono misure in radianti; per la regola di conversione della lezione su angoli e la loro misura, un angolo di $g$ gradi misura $\frac{\pi g}{180}$ radianti, e si adotta la convenzione che segue: $\sin g^\circ$ indica $\sin \frac{\pi g}{180}$, e lo stesso vale per le altre funzioni; per esempio, $\cos 60^\circ = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. Allo stesso modo, l’arcocoseno, che assume valori in $\icc{0}{\pi}$, restituisce la misura in radianti di un angolo, che si esprime in gradi: l’uguaglianza $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = 120^\circ$ significa che $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3}$, la misura in radianti di un angolo di $120^\circ$. Con questa convenzione, tutto ciò che segue vale ugualmente in radianti, sostituendo $180^\circ$ con $\pi$. Si ammette, come nella lezione sugli angoli e la loro misura, un fatto della geometria elementare che questo corso non dimostra perché non sviluppa la geometria sintetica: i tre angoli di un triangolo sommano due angoli retti.

Ne segue che ogni angolo di un triangolo è strettamente compreso fra $0^\circ$ e $180^\circ$, e che al più uno di essi è retto o ottuso. Dalle lezioni già viste di questa unità si usano, inoltre, i fatti seguenti:

• Il punto che si trova a distanza $r$ dall’origine, sulla semiretta che forma l’angolo $\theta$ con il semiasse positivo delle ascisse, ha le coordinate $\left( r \cos \theta, r \sin \theta \right)$: è il punto della circonferenza goniometrica corrispondente a $\theta$, moltiplicato per $r$.
• L’identità pitagorica, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, e le simmetrie dell’angolo supplementare, $\sin \left( 180^\circ - \theta \right) = \sin \theta$ e $\cos \left( 180^\circ - \theta \right) = -\cos \theta$.
• Se $0^\circ < \theta < 180^\circ$, il seno di $\theta$ è positivo; il coseno è positivo se $\theta$ è acuto, nullo se è retto e negativo se è ottuso.
• Il coseno è strettamente decrescente fra $0^\circ$ e $180^\circ$ e assume in quell’intervallo ogni valore fra $-1$ e $1$ esattamente una volta; perciò, secondo la lezione sulle funzioni trigonometriche inverse, un angolo di un triangolo è determinato dal suo coseno, $\theta = \arccos x$.

Il seno, invece, non determina un angolo di un triangolo: gli angoli $\theta$ e $180^\circ - \theta$ hanno lo stesso seno, e la funzione arcoseno restituisce solo quello acuto. Questa asimmetria fra il seno e il coseno spiegherà, nella penultima sezione, perché certi dati ammettono due triangoli distinti.