Resolução de triângulos: leis dos senos e dos cossenos

Notação e fatos prévios

Na aula sobre as razões trigonométricas o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo agudo foram definidos como quocientes entre os lados de um triângulo retângulo, e estendidos depois a todo ângulo por meio da circunferência unitária. Um triângulo retângulo se resolve, portanto, com essas razões e com o teorema de Pitágoras. Ora, a maioria dos triângulos que aparecem na geometria e na medição do terreno não tem nenhum ângulo reto; o objetivo desta aula é resolvê-los todos.

Em um triângulo de vértices $A$, $B$ e $C$, a mesma letra maiúscula designa o vértice e a medida do ângulo interno do triângulo nesse vértice, e a letra minúscula correspondente designa o comprimento do lado oposto: $a$ é o comprimento do lado $BC$, $b$ o do lado $CA$ e $c$ o do lado $AB$. A área do triângulo é denotada por $S$, e a distância entre dois pontos $P$ e $Q$, por $\operatorname{d}(P, Q)$. Como é costume na resolução de triângulos, os ângulos são expressos em graus. Ora, as funções trigonométricas estão definidas para números reais, que são medidas em radianos; pela regra de conversão da aula sobre os ângulos e sua medida, um ângulo de $g$ graus mede $\frac{\pi g}{180}$ radianos, e adota-se a convenção que segue: $\sin g^\circ$ designa $\sin \frac{\pi g}{180}$, e o mesmo com as demais funções; por exemplo, $\cos 60^\circ = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. Do mesmo modo, o arco-cosseno, que toma valores em $\icc{0}{\pi}$, devolve a medida em radianos de um ângulo, que se expressa em graus: a igualdade $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = 120^\circ$ significa que $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3}$, a medida em radianos de um ângulo de $120^\circ$. Com essa convenção, tudo o que segue vale igualmente em radianos, substituindo $180^\circ$ por $\pi$. Admite-se, como na aula sobre os ângulos e sua medida, um fato da geometria elementar que este curso não demonstra porque não desenvolve a geometria sintética: os três ângulos de um triângulo somam dois retos.

Daí se segue que cada ângulo de um triângulo está estritamente entre $0^\circ$ e $180^\circ$, e que no máximo um deles é reto ou obtuso. Das aulas precedentes desta unidade empregam-se, além disso, os fatos abaixo:

• O ponto que está a distância $r$ da origem, sobre a semirreta que forma o ângulo $\theta$ com o semieixo positivo das abscissas, tem as coordenadas $\left( r \cos \theta, r \sin \theta \right)$: é o ponto da circunferência unitária correspondente a $\theta$, multiplicado por $r$.
• A identidade pitagórica, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, e as simetrias do ângulo suplementar, $\sin \left( 180^\circ - \theta \right) = \sin \theta$ e $\cos \left( 180^\circ - \theta \right) = -\cos \theta$.
• Se $0^\circ < \theta < 180^\circ$, o seno de $\theta$ é positivo; o cosseno é positivo se $\theta$ é agudo, nulo se é reto e negativo se é obtuso.
• O cosseno é estritamente decrescente entre $0^\circ$ e $180^\circ$ e toma nesse intervalo cada valor entre $-1$ e $1$ exatamente uma vez; por isso, segundo a aula sobre as funções trigonométricas inversas, um ângulo de um triângulo fica determinado por seu cosseno, $\theta = \arccos x$.

O seno, por outro lado, não determina um ângulo de um triângulo: os ângulos $\theta$ e $180^\circ - \theta$ têm o mesmo seno, e a função arco-seno devolve apenas o agudo. Essa assimetria entre o seno e o cosseno explicará, na penúltima seção, por que certos dados admitem dois triângulos distintos.