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Topos Uranos
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As funções trigonométricas inversas

Resumo

Esta aula constrói as inversas do seno, do cosseno e da tangente. Como essas funções são periódicas, não são injetoras, e para invertê-las é preciso restringi-las a um intervalo em que tomem cada valor uma única vez: o seno a [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, o cosseno a [0,π]\icc{0}{\pi} e a tangente a (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}. Deduz do axioma do percurso por comprimento de arco, que afirma que a abscissa do ponto percorrido decresce estritamente ao longo da primeira meia volta, que o cosseno é estritamente decrescente em [0,π]\icc{0}{\pi}; disso e das simetrias demonstra que o seno e a tangente são estritamente crescentes em seus intervalos, e que as três restrições são bijetoras; define o arco-seno, o arco-cosseno e o arco-tangente, e obtém seus gráficos como reflexos em relação à reta y=xy = x. Demonstra depois as identidades que os relacionam, distingue com cuidado sin⁡(arcsin⁡x)=x\sin(\arcsin x) = x, sempre verdadeira, de arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x, verdadeira só no intervalo principal, e resolve as equações sin⁡x=c\sin x = c, cos⁡x=c\cos x = c e tan⁡x=c\tan x = c numa volta completa.

Objetivos de aprendizagem

  1. Deduzir do axioma do percurso a monotonia estrita do cosseno e do seno em seus intervalos principais, demonstrar com ela a da tangente, e definir as três inversas com seus domínios e conjuntos imagem.
  2. Construir os gráficos do arco-seno, do arco-cosseno e do arco-tangente como reflexos em relação à reta y=xy = x, e calcular seus valores nos pontos notáveis.
  3. Demonstrar as identidades de composição, de simetria e de ângulos complementares das funções inversas, e simplificar expressões que combinam funções trigonométricas com suas inversas.
  4. Resolver as equações trigonométricas elementares no intervalo [0,2π)\ico{0}{2\pi} por meio das funções inversas e das simetrias da circunferência unitária.

A restrição das funções trigonométricas

Segundo a aula do curso I sobre as operações com funções, uma função tem inversa se e somente se é bijetora, e então o gráfico da inversa é o reflexo do seu em relação à reta y=xy = x. Ora, as funções trigonométricas estudadas na aula sobre as funções trigonométricas e seus gráficos não são injetoras: o seno e o cosseno têm período 2π2\pi, e a tangente, período π\pi, de modo que cada valor se repete infinitas vezes. Mais ainda, dentro de um mesmo período os valores se repetem: pela simetria dos ângulos suplementares, demonstrada na aula sobre as razões trigonométricas, vale sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x. Se isso é assim, para inverter essas funções é preciso restringi-las a um intervalo em que sejam injetoras e em que tomem todos os seus valores. Escolhem-se intervalos que contenham os ângulos agudos e em que a função seja estritamente monótona.

TeoremaMonotonia nos intervalos principais

O cosseno é estritamente decrescente em [0,π]\icc{0}{\pi}; o seno é estritamente crescente em [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, e a tangente é estritamente crescente em (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.

Usa-se a definição do seno e do cosseno por meio do ponto P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right) da circunferência unitária, da aula sobre as razões trigonométricas, e o axioma do percurso por comprimento de arco, admitido na aula sobre os ângulos e sua medida. A monotonia do cosseno é a tradução da propriedade da meia volta desse axioma; a do seno e a da tangente demonstram-se a partir dela.

Demonstração

  1. 0≤α<β≤π0 \leq \alpha < \beta \leq \pi

    Sejam α\alpha e β\beta com 0≤α<β≤π0 \leq \alpha < \beta \leq \pi. Os pontos P(α)P(\alpha) e P(β)P(\beta) são as extremidades dos arcos de comprimentos α\alpha e β\beta que partem de (1,0)(1, 0) no sentido anti-horário, e ambos estão na primeira meia volta do percurso, que cobre a semicircunferência superior.

  2. 0≤α<β≤π→cos⁡α>cos⁡β\dato{c}{0 \leq \alpha < \beta \leq \pi \rightarrow \cos \alpha > \cos \beta}

    Pela propriedade da meia volta do axioma, durante a primeira meia volta a abscissa do ponto percorrido decresce estritamente: a de P(α)P(\alpha) é maior que a de P(β)P(\beta). Como o cosseno é, por definição, a abscissa de P(θ)P(\theta), a desigualdade entre as abscissas é uma desigualdade entre cossenos.

  3. sin⁡α=cos⁡(π2−α)<cos⁡(π2−β)=sin⁡β\sin \alpha = \resaltar{\cos\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)} < \resaltar{\cos\left( \frac{\pi}{2} - \beta \right)} = \dato{s}{\sin \beta}

    Sejam agora −π2≤α<β≤π2-\frac{\pi}{2} \leq \alpha < \beta \leq \frac{\pi}{2}. Seus complementares satisfazem π2−β<π2−α\frac{\pi}{2} - \beta < \frac{\pi}{2} - \alpha e estão em [0,π]\icc{0}{\pi}; pela simetria dos ângulos complementares, o seno de um ângulo é o cosseno do seu complementar, e como o cosseno decresce em [0,π]\icc{0}{\pi}, o seno cresce em [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.

  4. tan⁡α=sin⁡αcos⁡α<sin⁡βcos⁡α<sin⁡βcos⁡β=tan⁡β\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} < \frac{\resaltar{\sin \beta}}{\cos \alpha} < \frac{\sin \beta}{\resaltar{\cos \beta}} = \dato{t}{\tan \beta}

    Para a tangente, sejam 0≤α<β<π20 \leq \alpha < \beta < \frac{\pi}{2}. Pelos passos precedentes, 0≤sin⁡α<sin⁡β0 \leq \sin \alpha < \sin \beta e cos⁡α>cos⁡β>cos⁡π2=0\cos \alpha > \cos \beta > \cos \frac{\pi}{2} = 0. Ao aumentar primeiro o numerador e diminuir depois o denominador, ambos positivos, o quociente aumenta.

  5. tan⁡α=−tan⁡(−α)<−tan⁡(−β)=tan⁡β\tan \alpha = \resaltar{-\tan(-\alpha)} < \resaltar{-\tan(-\beta)} = \tan \beta

    A tangente é ímpar, porque é o quociente do seno, ímpar, pelo cosseno, par. Se −π2<α<β≤0-\frac{\pi}{2} < \alpha < \beta \leq 0, os opostos satisfazem 0≤−β<−α0 \leq -\beta < -\alpha, e ao mudar de sinal inverte-se a desigualdade do passo precedente; se α<0<β\alpha < 0 < \beta, a tangente é negativa em α\alpha e positiva em β\beta. Portanto, a tangente cresce em todo o intervalo (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.

As restrições bijetoras

Toda função estritamente monótona é injetora, segundo o teorema das funções monótonas da aula sobre as operações com funções. Falta que cada restrição tome todos os valores do seu conjunto imagem.

TeoremaRestrições bijetoras

O seno, restrito a [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, é uma bijeção sobre [−1,1]\icc{-1}{1}; o cosseno, restrito a [0,π]\icc{0}{\pi}, é uma bijeção sobre [−1,1]\icc{-1}{1}, e a tangente, restrita a (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, é uma bijeção sobre R\mathbb{R}.

A injetividade segue-se do teorema precedente. Que cada restrição tome todos os seus valores segue-se da propriedade de recobrimento do axioma do percurso, segundo a qual todo ponto da circunferência unitária é a extremidade de um arco que começa em (1,0)(1, 0), e do lema segundo o qual uma volta não repete pontos, ambos da aula sobre os ângulos e sua medida.

Demonstração

  1. 0≤α<β≤π→cos⁡α≠cos⁡β0 \leq \alpha < \beta \leq \pi \rightarrow \resaltar{\cos \alpha \neq \cos \beta}

    Pelo teorema precedente, as três restrições são estritamente monótonas, e toda função estritamente monótona é injetora: dois ângulos distintos da semicircunferência superior têm abscissas distintas.

  2. Q=(c,1−c2),c2+(1−c2)2=1→Q=P(θ)Q = \left( c, \sqrt{1 - c^2} \right), \quad \resaltar{c^2 + \left( \sqrt{1 - c^2} \right)^2 = 1} \rightarrow \dato{q}{Q = P(\theta)}

    Seja cc com −1≤c≤1-1 \leq c \leq 1. O ponto QQ seguinte está na circunferência unitária; pelo recobrimento e porque uma volta não repete pontos, é P(θ)P(\theta) para um único θ\theta em [0,2π)\ico{0}{2\pi}.

  3. sin⁡θ=1−c2≥0→θ∈[0,π],cos⁡θ=c\sin \theta = \sqrt{1 - c^2} \geq 0 \rightarrow \theta \in \icc{0}{\pi}, \quad \dato{c}{\cos \theta = c}

    A ordenada de QQ não é negativa, e o seno é negativo em (π,2π)\ioo{\pi}{2\pi}, segundo os sinais por quadrantes da aula sobre as razões trigonométricas: esse θ\theta está em [0,π]\icc{0}{\pi}, e seu cosseno é cc. O cosseno restrito toma todos os valores de [−1,1]\icc{-1}{1}.

  4. sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ=c,π2−θ∈[−π2,π2]\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \resaltar{\cos \theta} = \resaltar{c}, \quad \frac{\pi}{2} - \theta \in \icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}

    Pela simetria dos ângulos complementares, o seno de π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta é o cosseno de θ\theta, e quando θ\theta percorre [0,π]\icc{0}{\pi}, seu complementar percorre [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}: o seno restrito também toma todos os valores de [−1,1]\icc{-1}{1}.

  5. tan⁡x=m,x−kπ∈(−π2,π2),tan⁡(x−kπ)=m\tan x = m, \quad x - k\pi \in \ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, \quad \tan(x - k\pi) = m

    Para a tangente, o teorema de suas propriedades, da aula sobre as funções trigonométricas e seus gráficos, diz que seu conjunto imagem é R\mathbb{R}: dado mm, a reta de coeficiente angular mm pela origem corta a semicircunferência direita num ponto P(x)P(x) com xx entre −π2-\frac{\pi}{2} e π2\frac{\pi}{2}. Também se vê pela periodicidade: se tan⁡x=m\tan x = m, subtraindo de xx um múltiplo inteiro de π\pi, como na redução à primeira volta, obtém-se um número desse intervalo com a mesma tangente.