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Topos Uranos
Português

Operações com funções, inversa e transformações de gráficos

Resumo

Esta aula estuda as funções como objetos com os quais se opera. Define a soma, o produto, o quociente e a composição de funções reais, com seus domínios, e mostra que a composição não é comutativa. Toma da aula sobre conjuntos, relações e funções a associatividade da composição, a injetividade e o teorema da função inversa, e acrescenta o que é próprio das funções reais: o domínio de uma composição, as funções monótonas, a inversa de uma função estritamente monótona, o cálculo da inversa isolando a variável e restringindo o domínio, e o gráfico da inversa, que é o reflexo do original em relação à reta y=xy = x. Estuda depois as funções pares e ímpares, as translações, dilatações e reflexões de um gráfico, e as funções definidas por partes e com valores absolutos.

Objetivos de aprendizagem

  1. Somar, multiplicar, dividir e compor funções, e determinar o domínio de cada resultado a partir dos domínios das funções operadas.
  2. Decidir se uma função é injetora, sobrejetora ou bijetora, e calcular sua inversa, restringindo o domínio quando necessário.
  3. Reconhecer as simetrias de um gráfico: em relação ao eixo vertical, em relação à origem e em relação à reta y=xy = x.
  4. Obter o gráfico de uma função a partir do de outra mediante translações, dilatações, reflexões e valores absolutos, respeitando a ordem em que se aplicam.
  5. Interpretar as operações com funções e a função inversa em problemas aplicados, como a equação das lentes, na qual a inversa troca os papéis do objeto e da imagem.

Operações com funções

Na aula sobre as funções algébricas definiu-se uma função como uma regra que associa a cada elemento de seu domínio exatamente uma imagem, e viu-se que as funções algébricas se formam a partir da variável mediante somas, produtos, quocientes e raízes. Essas operações podem ser entendidas como operações entre funções: duas funções se somam, se multiplicam ou se dividem ponto a ponto, e uma delas pode ser aplicada ao resultado da outra. Se isso é assim, as funções complicadas se estudam decompondo-as em outras mais simples.

Sejam ff e gg funções reais de variável real. Sua soma f+gf + g, sua diferença f−gf - g e seu produto f⋅gf \cdot g são as funções que associam a cada xx a soma, a diferença e o produto das imagens; seu quociente fg\frac{f}{g} associa a cada xx o quociente das imagens:

f+g:x↦f(x)+g(x),f⋅g:x↦f(x)⋅g(x),fg:x↦f(x)g(x)f + g : x \mapsto f(x) + g(x), \qquad f \cdot g : x \mapsto f(x) \cdot g(x), \qquad \frac{f}{g} : x \mapsto \frac{f(x)}{g(x)}

Para que essas expressões tenham sentido, xx deve pertencer a ambos os domínios; no quociente, além disso, a imagem g(x)g(x) não pode se anular. Disso decorrem os domínios das operações:

Dom⁡(f+g)=Dom⁡(f)∩Dom⁡(g),Dom⁡(fg)={x∈Dom⁡(f)∩Dom⁡(g):g(x)≠0}\operatorname{Dom}(f + g) = \operatorname{Dom}(f) \cap \operatorname{Dom}(g), \qquad \operatorname{Dom}\left( \frac{f}{g} \right) = \{ x \in \operatorname{Dom}(f) \cap \operatorname{Dom}(g) : g(x) \neq 0 \}

O domínio da diferença e o do produto coincidem com o da soma, e o produto de uma função por um número cc é o produto pela função constante cc, cujo domínio é R\mathbb{R}. Ora, o domínio de uma operação se determina a partir das funções operadas, e não a partir da fórmula que resulta depois de simplificar. Se f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 e g(x)=x−1g(x) = x - 1, o quociente coincide com x+1x + 1 em todo o seu domínio, mas esse domínio exclui o 11, porque g(1)=0g(1) = 0: o gráfico do quociente é a reta y=x+1y = x + 1 sem o ponto (1,2)(1, 2). Do mesmo modo, se f(x)=xf(x) = \sqrt{x} e g(x)=−xg(x) = \sqrt{-x}, a soma está definida apenas em x=0x = 0, o único ponto comum dos domínios. Os pontos excluídos como o primeiro serão chamados pontos removíveis na aula sobre quadros de sinais e inequações, e seu efeito nos gráficos será estudado na aula sobre as funções racionais.

A composição de funções

A operação mais importante entre funções não tem análogo entre números: consiste em aplicar uma função ao resultado de outra. A composição de ff com gg, que se denota por f∘gf \circ g e se lê «ff composta com gg», é a função que aplica primeiro gg e depois ff:

(f∘g)(x)=f(g(x))\left( f \circ g \right)(x) = f(g(x))

Pode-se pensá-la como uma sequência de duas máquinas: xx entra em gg, que produz g(x)g(x), e esse número entra em ff, que produz f(g(x))f(g(x)). Para que a sequência funcione, xx deve pertencer ao domínio de gg, e sua imagem, ao domínio de ff:

Dom⁡(f∘g)={x∈Dom⁡(g):g(x)∈Dom⁡(f)}\operatorname{Dom}(f \circ g) = \{ x \in \operatorname{Dom}(g) : g(x) \in \operatorname{Dom}(f) \}

Observe-se a ordem: em f∘gf \circ g atua primeiro a função escrita à direita. As funções algébricas são composições de funções mais simples; por exemplo, 1−x2\sqrt{1 - x^2} é a raiz quadrada composta com 1−x21 - x^2, e reconhecer essa estrutura é o que permite calcular seu domínio.

ExemploDuas composições distintas

Sejam f(x)=xf(x) = \sqrt{x} e g(x)=1−x2g(x) = 1 - x^2. Determinar as funções f∘gf \circ g e g∘fg \circ f com seus domínios, e compará-las. A figura representa cada composição como um percurso por três retas numéricas: a de xx, a da primeira imagem e a da segunda.

Demonstração

  1. (f∘g)(x)=1−x2,1−x2≥0\left( f \circ g \right)(x) = \sqrt{\resaltar{1 - x^2}}, \quad 1 - x^2 \geq 0

    O domínio de gg é R\mathbb{R}, e o de ff é formado pelos reais não negativos. Para calcular f∘gf \circ g, a imagem g(x)g(x) deve ser não negativa; os valores de xx que a tornam negativa, como x=2x = 2, não passam pela segunda máquina.

  2. (1−x)(1+x)≥0↔Dom⁡(f∘g)=[−1,1]\resaltar{(1 - x)(1 + x)} \geq 0 \leftrightarrow \dato{fg}{\operatorname{Dom}(f \circ g) = \icc{-1}{1}}

    Fatoramos a diferença de quadrados. Pelo lema do sinal de um produto, os dois fatores devem ser não negativos, porque que ambos fossem negativos exigiria x>1x > 1 e x<−1x < -1 ao mesmo tempo.

  3. (g∘f)(x)=1−(x)2=1−x,Dom⁡(g∘f)=[0,∞)\left( g \circ f \right)(x) = 1 - \resaltar{\left( \sqrt{x} \right)^2} = \resaltar{1 - x}, \quad \dato{gf}{\operatorname{Dom}(g \circ f) = \ico{0}{\infty}}

    Para g∘fg \circ f, o número xx deve pertencer ao domínio de ff, e x\sqrt{x} pertence sempre ao de gg. Ao simplificar, a fórmula perde o vestígio da raiz, mas o domínio o conserva.

  4. (f∘g)(12)=34=32,(g∘f)(12)=12\left( f \circ g \right)\left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \left( g \circ f \right)\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}

    As duas composições são funções distintas: têm domínios distintos e, num mesmo ponto de ambos, como x=12x = \frac{1}{2}, assumem valores distintos. Portanto, a composição não é comutativa.

Embora não seja comutativa, a composição é associativa: ao encadear três funções, tanto faz agrupar primeiro as duas primeiras ou as duas últimas. Para funções entre conjuntos dados isso foi demonstrado na aula sobre conjuntos, relações e funções da primeira unidade. A única coisa própria das funções reais é o domínio, que aqui não se declara de antemão, mas se deduz das fórmulas. Ora, aplicando duas vezes a definição do domínio de uma composição, um número xx está no domínio de h∘(g∘f)h \circ (g \circ f) exatamente quando está no de ff, sua imagem f(x)f(x) está no de gg e g(f(x))g(f(x)) está no de hh; e a mesma condição resulta para (h∘g)∘f(h \circ g) \circ f. Restritas a esse domínio comum, as funções que se encadeiam são funções entre conjuntos, e o teorema daquela aula dá em ambos os casos o valor h(g(f(x)))h(g(f(x))). Por isso se escreve simplesmente h∘g∘fh \circ g \circ f.

Dom⁡(h∘g∘f)={x∈Dom⁡(f):f(x)∈Dom⁡(g)∧g(f(x))∈Dom⁡(h)}\operatorname{Dom}(h \circ g \circ f) = \{ x \in \operatorname{Dom}(f) : f(x) \in \operatorname{Dom}(g) \wedge g(f(x)) \in \operatorname{Dom}(h) \}