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Topos Uranos
日本語

関数の演算、逆関数とグラフの変換

要約

この課では、関数を演算の対象として扱う。実関数の和、積、商、合成をその定義域とともに定義し、合成が可換でないことを示す。集合・関係・関数の課から合成の結合性、単射性、逆関数の定理を受け継ぎ、実関数に固有の事柄を付け加える。すなわち、合成の定義域、単調関数、狭義単調関数の逆関数、変数について解き定義域を制限することによる逆関数の計算、そして逆関数のグラフであり、これはもとのグラフを直線 y=xy = x に関して対称移動したものである。続いて偶関数と奇関数、グラフの平行移動・拡大縮小・対称移動、区分的に定義された関数と絶対値を含む関数を扱う。

学習目標

  1. 関数の和、積、商、合成をつくり、演算する関数の定義域から各結果の定義域を求める。
  2. 関数が単射、全射、全単射のいずれであるかを判定し、必要に応じて定義域を制限して逆関数を求める。
  3. グラフの対称性を見分ける。すなわち、縦軸に関する対称性、原点に関する対称性、直線 y=xy = x に関する対称性である。
  4. 平行移動、拡大縮小、対称移動、絶対値によって、ある関数のグラフから別の関数のグラフを得る。その際、それらを適用する順序を守る。
  5. 関数の演算と逆関数を応用問題で解釈する。たとえばレンズの公式では、逆関数が物体と像の役割を入れ替える。

関数の演算

代数関数の課では、関数を、定義域の各元にただ一つの像を対応させる規則として定義し、代数関数が変数から和、積、商、累乗根によってつくられることを見た。これらの演算は関数どうしの演算と考えることができる。二つの関数は点ごとに足し、掛け、割ることができ、一方を他方の結果に適用することもできる。そうであるならば、複雑な関数はより簡単な関数に分解して調べられる。

ff と gg を実変数の実関数とする。その和 f+gf + g、差 f−gf - g、積 f⋅gf \cdot g は、各 xx にそれぞれ像の和、差、積を対応させる関数であり、商 fg\frac{f}{g} は各 xx に像の商を対応させる。

f+g:x↦f(x)+g(x),f⋅g:x↦f(x)⋅g(x),fg:x↦f(x)g(x)f + g : x \mapsto f(x) + g(x), \qquad f \cdot g : x \mapsto f(x) \cdot g(x), \qquad \frac{f}{g} : x \mapsto \frac{f(x)}{g(x)}

これらの式が意味をもつためには、xx が両方の定義域に属さなければならない。商ではさらに、像 g(x)g(x) が零になってはならない。ここから演算の定義域が得られる。

dom⁡(f+g)=dom⁡(f)∩dom⁡(g),dom⁡(fg)={x∈dom⁡(f)∩dom⁡(g):g(x)≠0}\operatorname{dom}(f + g) = \operatorname{dom}(f) \cap \operatorname{dom}(g), \qquad \operatorname{dom}\left( \frac{f}{g} \right) = \{ x \in \operatorname{dom}(f) \cap \operatorname{dom}(g) : g(x) \neq 0 \}

差の定義域と積の定義域は和の定義域と一致し、関数と数 cc の積は定数関数 cc との積であり、その定義域は R\mathbb{R} である。しかし、演算の定義域は演算する関数から決まるのであって、簡約したあとに得られる式から決まるのではない。f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 かつ g(x)=x−1g(x) = x - 1 ならば、商はその定義域全体で x+1x + 1 と一致するが、その定義域は 11 を含まない。なぜなら g(1)=0g(1) = 0 だからである。商のグラフは直線 y=x+1y = x + 1 から点 (1,2)(1, 2) を除いたものである。同様に、f(x)=xf(x) = \sqrt{x} かつ g(x)=−xg(x) = \sqrt{-x} ならば、和は x=0x = 0 でのみ定義される。これは二つの定義域の唯一の共通点である。最初の例のように除かれる点は、符号表と不等式の課で除去可能な点とよばれ、グラフへの影響は有理関数の課で調べられる。

関数の合成

関数どうしの最も重要な演算は、数どうしの演算には類例がない。それは、ある関数を別の関数の結果に適用することである。ff と gg の合成は f∘gf \circ g で表され、「ff と gg の合成」と読まれる。これは、まず gg を、次に ff を適用する関数である。

(f∘g)(x)=f(g(x))\left( f \circ g \right)(x) = f(g(x))

二台の機械をつないだものと考えることができる。xx が gg に入って g(x)g(x) が出てきて、その数が ff に入って f(g(x))f(g(x)) が出てくる。この連結が働くためには、xx が gg の定義域に属し、その像が ff の定義域に属さなければならない。

dom⁡(f∘g)={x∈dom⁡(g):g(x)∈dom⁡(f)}\operatorname{dom}(f \circ g) = \{ x \in \operatorname{dom}(g) : g(x) \in \operatorname{dom}(f) \}

順序に注意してほしい。f∘gf \circ g では右に書かれた関数が先にはたらく。代数関数はより簡単な関数の合成である。たとえば、1−x2\sqrt{1 - x^2} は平方根と 1−x21 - x^2 の合成であり、この構造を見抜くことがその定義域を求める鍵となる。

例二つの異なる合成

f(x)=xf(x) = \sqrt{x}、g(x)=1−x2g(x) = 1 - x^2 とする。関数 f∘gf \circ g と g∘fg \circ f をその定義域とともに求め、比較せよ。図は各合成を三本の数直線をたどる道筋として表す。xx の数直線、第一の像の数直線、第二の像の数直線である。

証明

  1. (f∘g)(x)=1−x2,1−x2≥0\left( f \circ g \right)(x) = \sqrt{\resaltar{1 - x^2}}, \quad 1 - x^2 \geq 0

    gg の定義域は R\mathbb{R} であり、ff の定義域は非負の実数からなる。f∘gf \circ g を計算するには、像 g(x)g(x) が非負でなければならない。それを負にする xx の値、たとえば x=2x = 2 は、二台目の機械を通らない。

  2. (1−x)(1+x)≥0↔dom⁡(f∘g)=[−1,1]\resaltar{(1 - x)(1 + x)} \geq 0 \leftrightarrow \dato{fg}{\operatorname{dom}(f \circ g) = \icc{-1}{1}}

    平方の差を因数分解する。積の符号についての補題により、二つの因数はともに非負でなければならない。両方が負であるためには、x>1x > 1 と x<−1x < -1 が同時に成り立つ必要があるからである。

  3. (g∘f)(x)=1−(x)2=1−x,dom⁡(g∘f)=[0,∞)\left( g \circ f \right)(x) = 1 - \resaltar{\left( \sqrt{x} \right)^2} = \resaltar{1 - x}, \quad \dato{gf}{\operatorname{dom}(g \circ f) = \ico{0}{\infty}}

    g∘fg \circ f については、数 xx が ff の定義域に属さなければならず、x\sqrt{x} はつねに gg の定義域に属する。簡約すると式から根号の痕跡は消えるが、定義域はそれを保っている。

  4. (f∘g)(12)=34=32,(g∘f)(12)=12\left( f \circ g \right)\left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \left( g \circ f \right)\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}

    二つの合成は異なる関数である。定義域が異なり、両方に共通な同じ点、たとえば x=12x = \frac{1}{2} で異なる値をとる。したがって、合成は可換でない。

合成は可換ではないが、結合的である。三つの関数を続けて適用するとき、はじめの二つを先にまとめても、あとの二つを先にまとめても同じである。与えられた集合のあいだの関数については、第一単元の集合・関係・関数の課で証明された。実関数に固有なのは定義域だけであり、ここでは定義域はあらかじめ宣言されるのではなく、式から導かれる。しかし、合成の定義域の定義を二度適用すると、数 xx が h∘(g∘f)h \circ (g \circ f) の定義域に属するのは、それが ff の定義域に属し、その像 f(x)f(x) が gg の定義域に属し、g(f(x))g(f(x)) が hh の定義域に属するとき、かつそのときに限る。そして (h∘g)∘f(h \circ g) \circ f についても同じ条件が得られる。この共通の定義域に制限すれば、続けて適用される関数は集合のあいだの関数であり、あの課の定理によって、どちらの場合も値は h(g(f(x)))h(g(f(x))) となる。それゆえ単に h∘g∘fh \circ g \circ f と書く。

dom⁡(h∘g∘f)={x∈dom⁡(f):f(x)∈dom⁡(g)∧g(f(x))∈dom⁡(h)}\operatorname{dom}(h \circ g \circ f) = \{ x \in \operatorname{dom}(f) : f(x) \in \operatorname{dom}(g) \wedge g(f(x)) \in \operatorname{dom}(h) \}