Πράξεις συναρτήσεων, αντίστροφη και μετασχηματισμοί γραφημάτων

Πράξεις με συναρτήσεις

Στο μάθημα για τις αλγεβρικές συναρτήσεις η συνάρτηση ορίστηκε ως κανόνας που αντιστοιχίζει σε κάθε στοιχείο του πεδίου ορισμού της ακριβώς μία εικόνα, και είδαμε ότι οι αλγεβρικές συναρτήσεις σχηματίζονται από τη μεταβλητή με αθροίσματα, γινόμενα, πηλίκα και ρίζες. Οι πράξεις αυτές μπορούν να νοηθούν ως πράξεις μεταξύ συναρτήσεων: δύο συναρτήσεις προστίθενται, πολλαπλασιάζονται ή διαιρούνται σημείο προς σημείο, και η μία μπορεί να εφαρμοστεί στο αποτέλεσμα της άλλης. Αν αυτό ισχύει, οι περίπλοκες συναρτήσεις μελετώνται με την ανάλυσή τους σε απλούστερες.

Έστω $f$ και $g$ πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής. Το άθροισμά τους $f + g$, η διαφορά τους $f - g$ και το γινόμενό τους $f \cdot g$ είναι οι συναρτήσεις που αντιστοιχίζουν σε κάθε $x$ το άθροισμα, τη διαφορά και το γινόμενο των εικόνων· το πηλίκο τους $\frac{f}{g}$ αντιστοιχίζει σε κάθε $x$ το πηλίκο των εικόνων:

Για να έχουν νόημα αυτές οι παραστάσεις, το $x$ πρέπει να ανήκει και στα δύο πεδία ορισμού· στο πηλίκο, επιπλέον, η εικόνα $g(x)$ δεν μπορεί να μηδενίζεται. Από αυτό προκύπτουν τα πεδία ορισμού των πράξεων:

Το πεδίο ορισμού της διαφοράς και εκείνο του γινομένου συμπίπτουν με το πεδίο ορισμού του αθροίσματος, και το γινόμενο μιας συνάρτησης με έναν αριθμό $c$ είναι το γινόμενο με τη σταθερή συνάρτηση $c$, της οποίας το πεδίο ορισμού είναι το $\mathbb{R}$. Ωστόσο, το πεδίο ορισμού μιας πράξης προσδιορίζεται από τις συναρτήσεις που συμμετέχουν σε αυτήν, και όχι από τον τύπο που προκύπτει μετά την απλοποίηση. Αν $f(x) = x^2 - 1$ και $g(x) = x - 1$, το πηλίκο συμπίπτει με την $x + 1$ σε όλο το πεδίο ορισμού του, αλλά το πεδίο αυτό εξαιρεί το $1$, επειδή $g(1) = 0$: η γραφική παράσταση του πηλίκου είναι η ευθεία $y = x + 1$ χωρίς το σημείο $(1, 2)$. Με τον ίδιο τρόπο, αν $f(x) = \sqrt{x}$ και $g(x) = \sqrt{-x}$, το άθροισμα ορίζεται μόνο στο $x = 0$, το μοναδικό κοινό σημείο των πεδίων ορισμού. Τα σημεία που εξαιρούνται όπως το πρώτο θα ονομαστούν αιρόμενα σημεία στο μάθημα για τους πίνακες προσήμων και τις ανισώσεις, και η επίδρασή τους στις γραφικές παραστάσεις θα μελετηθεί στο μάθημα για τις ρητές συναρτήσεις.

Η σύνθεση συναρτήσεων

Η σημαντικότερη πράξη μεταξύ συναρτήσεων δεν έχει ανάλογο μεταξύ αριθμών: συνίσταται στο να εφαρμόζεται μια συνάρτηση στο αποτέλεσμα μιας άλλης. Η σύνθεση της $f$ με την $g$, που συμβολίζεται με $f \circ g$ και διαβάζεται «$f$ σύνθεση $g$», είναι η συνάρτηση που εφαρμόζει πρώτα την $g$ και έπειτα την $f$:

Μπορεί να τη φανταστεί κανείς ως διαδοχή δύο μηχανών: το $x$ μπαίνει στην $g$, η οποία παράγει το $g(x)$, και ο αριθμός αυτός μπαίνει στην $f$, η οποία παράγει το $f(g(x))$. Για να λειτουργήσει αυτή η διαδοχή, το $x$ πρέπει να ανήκει στο πεδίο ορισμού της $g$, και η εικόνα του στο πεδίο ορισμού της $f$:

Προσέξτε τη σειρά: στην $f \circ g$ δρα πρώτη η συνάρτηση που είναι γραμμένη δεξιά. Οι αλγεβρικές συναρτήσεις είναι συνθέσεις απλούστερων συναρτήσεων· για παράδειγμα, η $\sqrt{1 - x^2}$ είναι η τετραγωνική ρίζα σε σύνθεση με την $1 - x^2$, και η αναγνώριση αυτής της δομής είναι εκείνη που επιτρέπει τον υπολογισμό του πεδίου ορισμού της.

Αν και δεν είναι αντιμεταθετική, η σύνθεση είναι προσεταιριστική: όταν αλυσιδώνονται τρεις συναρτήσεις, δεν έχει σημασία αν ομαδοποιούνται πρώτα οι δύο πρώτες ή οι δύο τελευταίες. Για συναρτήσεις μεταξύ δοσμένων συνόλων αποδείχθηκε στο μάθημα για τα σύνολα, τις σχέσεις και τις συναρτήσεις της πρώτης ενότητας. Το μόνο ιδιαίτερο των πραγματικών συναρτήσεων είναι το πεδίο ορισμού, που εδώ δεν δηλώνεται εκ των προτέρων, αλλά συνάγεται από τους τύπους. Ωστόσο, εφαρμόζοντας δύο φορές τον ορισμό του πεδίου ορισμού μιας σύνθεσης, ένας αριθμός $x$ ανήκει στο πεδίο ορισμού της $h \circ (g \circ f)$ ακριβώς όταν ανήκει σε εκείνο της $f$, η εικόνα του $f(x)$ ανήκει σε εκείνο της $g$ και το $g(f(x))$ ανήκει σε εκείνο της $h$· και η ίδια συνθήκη προκύπτει για την $(h \circ g) \circ f$. Περιορισμένες σε αυτό το κοινό πεδίο ορισμού, οι συναρτήσεις που αλυσιδώνονται είναι συναρτήσεις μεταξύ συνόλων, και το θεώρημα εκείνου του μαθήματος δίνει και στις δύο περιπτώσεις την τιμή $h(g(f(x)))$. Γι' αυτό γράφεται απλώς $h \circ g \circ f$.