Operaciones con funciones, función inversa y transformaciones de gráficas

Resumen

Esta clase estudia las funciones como objetos con los que se opera. Define la suma, el producto, el cociente y la composición de funciones reales, con sus dominios, y muestra que la composición no es conmutativa. Toma de la clase sobre conjuntos, relaciones y funciones la asociatividad de la composición, la inyectividad y el teorema de la función inversa, y añade lo que es propio de las funciones reales: el dominio de una composición, las funciones monótonas, la inversa de una función estrictamente monótona, el cálculo de la inversa despejando la variable y restringiendo el dominio, y la gráfica de la inversa, que es la reflejada de la original respecto de la recta $y = x$ . Estudia después las funciones pares e impares, las traslaciones, dilataciones y reflexiones de una gráfica, y las funciones definidas por partes y con valores absolutos.

Objetivos de aprendizaje

Sumar, multiplicar, dividir y componer funciones, y determinar el dominio de cada resultado a partir de los dominios de las funciones que se operan.
Decidir si una función es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva, y calcular su inversa, restringiendo el dominio cuando sea necesario.
Reconocer las simetrías de una gráfica: respecto del eje vertical, respecto del origen y respecto de la recta $y = x$ .
Obtener la gráfica de una función a partir de otra mediante traslaciones, dilataciones, reflexiones y valores absolutos, respetando el orden en que se aplican.
Interpretar las operaciones con funciones y la función inversa en problemas aplicados, como la ecuación de las lentes, en la que la inversa intercambia los papeles del objeto y de la imagen.

Operaciones con funciones

En la clase sobre las funciones algebraicas se definió una función como una regla que asigna a cada elemento de su dominio exactamente una imagen, y se vio que las funciones algebraicas se forman a partir de la variable mediante sumas, productos, cocientes y raíces. Esas operaciones pueden entenderse como operaciones entre funciones: dos funciones se suman, se multiplican o se dividen punto a punto, y una de ellas puede aplicarse al resultado de la otra. Si esto es así, las funciones complicadas se estudian descomponiéndolas en otras más sencillas.

Sean $f$ y $g$ funciones reales de variable real. Su suma $f + g$ , su diferencia $f - g$ y su producto $f \cdot g$ son las funciones que asignan a cada $x$ la suma, la diferencia y el producto de las imágenes; su cociente $\frac{f}{g}$ asigna a cada $x$ el cociente de las imágenes:

f + g : x \mapsto f(x) + g(x), \qquad f \cdot g : x \mapsto f(x) \cdot g(x), \qquad \frac{f}{g} : x \mapsto \frac{f(x)}{g(x)}

Para que estas expresiones tengan sentido, $x$ debe pertenecer a ambos dominios; en el cociente, además, la imagen $g(x)$ no puede anularse. De ello se siguen los dominios de las operaciones:

\operatorname{Dom}(f + g) = \operatorname{Dom}(f) \cap \operatorname{Dom}(g), \qquad \operatorname{Dom}\left( \frac{f}{g} \right) = \{ x \in \operatorname{Dom}(f) \cap \operatorname{Dom}(g) : g(x) \neq 0 \}

El dominio de la diferencia y el del producto coinciden con el de la suma, y el producto de una función por un número $c$ es el producto por la función constante $c$ , cuyo dominio es $\mathbb{R}$ . Ahora bien, el dominio de una operación se determina a partir de las funciones que se operan, y no a partir de la fórmula que resulta después de simplificar. Si $f(x) = x^2 - 1$ y $g(x) = x - 1$ , el cociente coincide con $x + 1$ en todo su dominio, pero ese dominio excluye el $1$ , porque $g(1) = 0$ : la gráfica del cociente es la recta $y = x + 1$ sin el punto $(1, 2)$ . Del mismo modo, si $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = \sqrt{-x}$ , la suma está definida solo en $x = 0$ , el único punto común de los dominios. Los puntos excluidos como el primero se llamarán puntos evitables en la clase sobre las tablas de signos, y su efecto en las gráficas se estudiará en la clase sobre las funciones racionales.

La composición de funciones

La operación más importante entre funciones no tiene análogo entre números: consiste en aplicar una función al resultado de otra. La composición de $f$ con $g$ , que se denota por $f \circ g$ y se lee « $f$ compuesta con $g$ », es la función que aplica primero $g$ y después $f$ :

\left( f \circ g \right)(x) = f(g(x))

Puede pensarse como una cadena de dos máquinas: $x$ entra en $g$ , que produce $g(x)$ , y ese número entra en $f$ , que produce $f(g(x))$ . Para que la cadena funcione, $x$ debe pertenecer al dominio de $g$ , y su imagen, al dominio de $f$ :

\operatorname{Dom}(f \circ g) = \{ x \in \operatorname{Dom}(g) : g(x) \in \operatorname{Dom}(f) \}

Obsérvese el orden: en $f \circ g$ actúa primero la función escrita a la derecha. Las funciones algebraicas son composiciones de funciones más sencillas; por ejemplo, $\sqrt{1 - x^2}$ es la raíz cuadrada compuesta con $1 - x^2$ , y reconocer esa estructura es lo que permite calcular su dominio.

EjemploDos composiciones distintas

Sean $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = 1 - x^2$ . Determinar las funciones $f \circ g$ y $g \circ f$ con sus dominios, y compararlas. La figura representa cada composición como un recorrido por tres rectas numéricas: la de $x$ , la de la primera imagen y la de la segunda.

Demostración

$\left( f \circ g \right)(x) = \sqrt{\resaltar{1 - x^2}}, \quad 1 - x^2 \geq 0$
El dominio de $g$ es $\mathbb{R}$ , y el de $f$ está formado por los reales no negativos. Para calcular $f \circ g$ , la imagen $g(x)$ debe ser no negativa; los valores de $x$ que la hacen negativa, como $x = 2$ , no pasan por la segunda máquina.
$\resaltar{(1 - x)(1 + x)} \geq 0 \leftrightarrow \dato{fg}{\operatorname{Dom}(f \circ g) = \icc{-1}{1}}$
Factorizamos la diferencia de cuadrados. Por el lema del signo de un producto, los dos factores deben ser no negativos, porque que ambos fueran negativos exigiría $x > 1$ y $x < -1$ a la vez.
$\left( g \circ f \right)(x) = 1 - \resaltar{\left( \sqrt{x} \right)^2} = \resaltar{1 - x}, \quad \dato{gf}{\operatorname{Dom}(g \circ f) = \ico{0}{\infty}}$
Para $g \circ f$ , el número $x$ debe pertenecer al dominio de $f$ , y $\sqrt{x}$ pertenece siempre al de $g$ . Al simplificar, la fórmula pierde la huella de la raíz, pero el dominio la conserva.
$\left( f \circ g \right)\left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \left( g \circ f \right)\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}$
Las dos composiciones son funciones distintas: tienen dominios distintos, y en un mismo punto de ambos, como $x = \frac{1}{2}$ , toman valores distintos. Por tanto, la composición no es conmutativa.

Aunque no es conmutativa, la composición es asociativa: al encadenar tres funciones, da lo mismo agrupar primero las dos primeras o las dos últimas. Para funciones entre conjuntos dados se demostró en la clase sobre conjuntos, relaciones y funciones de la primera unidad. Lo único propio de las funciones reales es el dominio, que aquí no se declara de antemano, sino que se deduce de las fórmulas. Ahora bien, aplicando dos veces la definición del dominio de una composición, un número $x$ está en el dominio de $h \circ (g \circ f)$ exactamente cuando está en el de $f$ , su imagen $f(x)$ está en el de $g$ y $g(f(x))$ está en el de $h$ ; y la misma condición resulta para $(h \circ g) \circ f$ . Restringidas a ese dominio común, las funciones que se encadenan son funciones entre conjuntos, y el teorema de aquella clase da en ambos casos el valor $h(g(f(x)))$ . Por eso se escribe simplemente $h \circ g \circ f$ .

\operatorname{Dom}(h \circ g \circ f) = \{ x \in \operatorname{Dom}(f) : f(x) \in \operatorname{Dom}(g) \wedge g(f(x)) \in \operatorname{Dom}(h) \}

En el resto de esta clase

Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
Funciones crecientes y decrecientes
La función inversa
El cálculo de la inversa
La gráfica de la inversa
Funciones pares e impares
Transformaciones de gráficas
Funciones definidas por partes y valores absolutos
Problemas resueltos
Una función que es su propia inversa
Una raíz transformada
La mayor restricción con inversa
Contar soluciones con una gráfica
Despejar una función de una composición
Problemas propuestos
La inyectividad de una composición
La ecuación de las lentes
Las partes par e impar de una función racional
La inversa de una función con valor absoluto
Las funciones homográficas