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Topos Uranos
Español

Tablas de signos e inecuaciones

Resumen

Esta clase enseña a determinar el signo de un polinomio y de un cociente de polinomios a partir de su factorización, organizando el análisis en una tabla de signos. Estudia el papel de la multiplicidad de las raíces y de los factores cuadráticos irreducibles, distingue junto a los ceros del denominador las asíntotas verticales de los puntos evitables, con una primera idea intuitiva de límite, y aplica el método a la resolución de inecuaciones polinómicas y racionales, estrictas y no estrictas, y a la determinación de dominios de funciones con cocientes y raíces, incluidas las raíces anidadas. Es la primera de tres clases dedicadas al dominio, el recorrido y el gráfico de las funciones algebraicas.

Objetivos de aprendizaje

  1. Construir la tabla de signos de un polinomio factorizado, considerando la multiplicidad de cada raíz y los factores cuadráticos irreducibles.
  2. Determinar el signo de un cociente de polinomios y reconocer, junto a los ceros del denominador, las asíntotas verticales y los puntos evitables.
  3. Resolver inecuaciones polinómicas y racionales, estrictas y no estrictas, sin multiplicar por expresiones de signo desconocido.
  4. Determinar el dominio de funciones con cocientes y raíces, incluidas las raíces anidadas, mediante tablas de signos.
  5. Traducir a inecuaciones problemas aplicados, como la duración de un viaje, el efecto de un medicamento o el diseño de un envase, y resolverlas con tablas de signos.

El signo de un polinomio

Muchas preguntas sobre una función se reducen a saber dónde una expresión es positiva, negativa o nula: el dominio de una raíz cuadrada exige un radicando no negativo, una inecuación pregunta dónde una expresión es positiva, y el gráfico de una función está por encima del eje xx exactamente donde la función es positiva. El instrumento que responde a esa pregunta es la tabla de signos, y su materia prima es la factorización estudiada en la clase sobre la factorización del polinomio cuadrático.

El signo de un factor lineal

Un factor lineal ax+bax + b, con a≠0a \neq 0, se anula solo en x=−bax = -\frac{b}{a} y tiene signo constante a cada lado de ese punto. Si a>0a > 0, es negativo a la izquierda y positivo a la derecha; si a<0a < 0, al revés. Por ejemplo, x−3x - 3 es positivo exactamente cuando x>3x > 3, y 2−x2 - x exactamente cuando x<2x < 2:

x−3>0↔x>3,2−x>0↔x<2x - 3 > 0 \leftrightarrow x > 3, \qquad 2 - x > 0 \leftrightarrow x < 2
LemaSigno de un factor lineal

Sea ax+bax + b un polinomio de grado 11, con raíz r=−bar = -\frac{b}{a}. Si a>0a > 0, entonces ax+bax + b es positivo exactamente cuando x>rx > r y negativo exactamente cuando x<rx < r; si a<0a < 0, es positivo exactamente cuando x<rx < r y negativo exactamente cuando x>rx > r.

Se usan las reglas para operar con desigualdades, demostradas en la clase sobre la recta real, y el lema del signo de un producto de la clase sobre las funciones algebraicas.

Demostración

  1. ax+b=a(x+ba)=a (x−r)ax + b = a\left( x + \frac{b}{a} \right) = \dato{f}{a \, \resaltar{(x - r)}}

    Sacamos aa como factor común: el factor lineal es aa por la diferencia x−rx - r, que es positiva exactamente cuando x>rx > r, nula en rr y negativa exactamente cuando x<rx < r.

  2. a>0→(ax+b>0↔x>r)a > 0 \rightarrow \left( ax + b > 0 \leftrightarrow \resaltar{x > r} \right)

    Por el lema del signo de un producto, a(x−r)a(x - r) es positivo exactamente cuando aa y x−rx - r tienen el mismo signo. Si a>0a > 0, eso ocurre exactamente cuando x>rx > r.

  3. a<0→(ax+b>0↔x<r)a < 0 \rightarrow \left( ax + b > 0 \leftrightarrow \resaltar{x < r} \right)

    Si a<0a < 0, el producto es positivo exactamente cuando x−rx - r es negativo, es decir, cuando x<rx < r; y en ambos casos el producto es negativo exactamente cuando los signos son opuestos.

La tabla de signos de un producto

Supongamos que un polinomio está escrito como producto de factores lineales. Los números en que se anula algún factor se llaman puntos críticos; ordenados de menor a mayor, dividen la recta real en intervalos abiertos. Ahora bien, cada uno de esos intervalos queda por completo a un mismo lado de la raíz de cada factor, de modo que, por el lema del signo de un factor lineal, ningún factor cambia de signo dentro de él; de ello se sigue que el producto tiene también signo constante en cada intervalo. Ese signo lo da la regla de los signos, que extiende a nn factores el lema del signo de un producto de dos factores, demostrado en la clase sobre las funciones algebraicas. La extensión se demuestra por inducción, como en la clase sobre sumatorias, progresiones e inducción.

LemaRegla de los signos

Un producto de nn factores reales no nulos es distinto de cero; es negativo si el número de sus factores negativos es impar, y positivo si es par.

Sean c1,c2,…,cnc_1, c_2, \ldots, c_n números reales no nulos y Πn=c1c2⋯cn\Pi_n = c_1 c_2 \cdots c_n su producto. Se razona por inducción sobre el número nn de factores. La figura muestra los factores en una fila y, debajo de cada uno, el signo del producto acumulado hasta él.

Demostración

  1. c>0→(p⋅c>0↔p>0),c<0→(p⋅c>0↔p<0)\dato{pos}{c > 0 \rightarrow (p \cdot c > 0 \leftrightarrow p > 0)}, \quad \dato{neg}{c < 0 \rightarrow (p \cdot c > 0 \leftrightarrow p < 0)}

    Por el lema del signo de un producto de dos factores, el producto de un real no nulo pp por un real no nulo cc no es nulo; si cc es positivo, tiene el signo de pp, y si cc es negativo, el signo contrario.

  2. Π1=c1\Pi_1 = c_1

    Caso inicial: si n=1n = 1, el producto es el propio factor, que es negativo exactamente cuando hay un factor negativo, y 11 es impar.

  3. Πn+1=Πn⋅cn+1\dato{h}{\Pi_{n + 1} = \Pi_n \cdot c_{n + 1}}

    Hipótesis de inducción: Πn\Pi_n es negativo si el número knk_n de sus factores negativos es impar, y positivo si es par. Añadimos un factor más.

  4. cn+1>0→kn+1=knc_{n + 1} > 0 \rightarrow \resaltar{k_{n + 1} = k_n}

    Si cn+1c_{n + 1} es positivo, el signo del producto no cambia, y el número de factores negativos no cambia: la regla se cumple para n+1n + 1 factores.

  5. cn+1<0→kn+1=kn+1c_{n + 1} < 0 \rightarrow \resaltar{k_{n + 1} = k_n + 1}

    Si cn+1c_{n + 1} es negativo, el signo se invierte y el número de factores negativos aumenta en uno, lo que cambia su paridad. La regla se cumple también, y por el principio de inducción vale para todo nn.

La tabla de signos organiza este razonamiento. Sus columnas son los intervalos determinados por los puntos críticos; tiene una fila por cada factor y una última fila para el producto, que se obtiene columna a columna con la regla de los signos. En cada punto crítico se anota un 00 en las filas de los factores que se anulan, y también en la del producto.

EjemploLa tabla de signos de un producto

Determinar el signo del polinomio P(x)=(x+2)(x−1)(x−3)P(x) = (x + 2)(x - 1)(x - 3) en cada punto de la recta real.

Demostración

  1. P(x)=0↔x=−2∨x=1∨x=3P(x) = 0 \leftrightarrow x = -2 \vee x = 1 \vee x = 3

    Los puntos críticos son las raíces de los tres factores. Dividen la recta en cuatro intervalos, que son las columnas de la tabla.

  2. x+2>0↔x>−2x + 2 > 0 \leftrightarrow x > -2

    El factor x+2x + 2 se anula en −2-2; es negativo a la izquierda de ese punto y positivo a la derecha.

  3. x−1>0↔x>1x - 1 > 0 \leftrightarrow x > 1

    El factor x−1x - 1 cambia de signo en 11.

  4. x−3>0↔x>3x - 3 > 0 \leftrightarrow x > 3

    El factor x−3x - 3 cambia de signo en 33.

  5. P(x)<0↔x<−2∨1<x<3P(x) < 0 \leftrightarrow x < -2 \vee 1 < x < 3

    En cada columna contamos los factores negativos: tres, dos, uno y ninguno. El producto es negativo cuando su número es impar.

  6. P(x)>0↔−2<x<1∨x>3P(x) > 0 \leftrightarrow -2 < x < 1 \vee x > 3

    En las demás columnas el producto es positivo, y se anula en los tres puntos críticos. El gráfico lo confirma: la curva está sobre el eje exactamente en esos intervalos, y lo cruza en cada punto crítico.

Multiplicidad y factores irreducibles

No todo polinomio se descompone en factores lineales distintos. Como se vio en la clase sobre las raíces de los polinomios de grado superior, rr es una raíz de multiplicidad kk cuando el polinomio es (x−r)k(x - r)^k por otro polinomio que no se anula en rr, y esa multiplicidad se determina con la división sintética repetida; en la tabla, el factor correspondiente es (x−r)k(x - r)^k. Por otra parte, por el teorema del signo del discriminante, demostrado en la clase sobre la factorización del polinomio cuadrático, un factor cuadrático ax2+bx+cax^2 + bx + c con discriminante negativo es irreducible y no tiene raíces reales. La proposición siguiente dice qué papel desempeña cada uno en la tabla.

ProposiciónSigno y multiplicidad

El signo de un polinomio factorizado cambia al atravesar un punto crítico si y solo si la multiplicidad de esa raíz es impar. Los factores cuadráticos irreducibles tienen signo constante, el de su coeficiente principal, y pueden suprimirse de una inecuación cuando son positivos, porque dividir por un número positivo conserva la desigualdad.

Sea rr una raíz de multiplicidad kk del polinomio PP. La figura sigue la demostración con r=1r = 1 y el cofactor x+2x + 2, y al final con el factor irreducible x2+x+1x^2 + x + 1.

Demostración

  1. P(x)=(x−r)kC(x),C(r)≠0\dato{p}{P(x) = \resaltar{(x - r)^k} C(x), \quad C(r) \neq 0}

    Escribimos PP separando el factor de rr. Entre rr y el punto crítico de CC más próximo, ningún factor de CC se anula, y por la regla de los signos CC tiene signo constante a ambos lados de rr.

  2. k=2j→(x−r)k=((x−r)j)2>0,x≠rk = 2j \rightarrow (x - r)^k = \resaltar{\left( (x - r)^j \right)^2} > 0, \quad x \neq r

    Si kk es par, (x−r)k(x - r)^k es el cuadrado de un número no nulo a ambos lados de rr, y es positivo: PP tiene allí el signo de CC, que no cambia.

  3. k=2j+1→(x−r)k=(x−r)((x−r)j)2k = 2j + 1 \rightarrow (x - r)^k = \resaltar{(x - r)} \left( (x - r)^j \right)^2

    Si kk es impar, (x−r)k(x - r)^k es x−rx - r por un cuadrado positivo, y tiene el signo de x−rx - r, que cambia en rr: por la regla de los signos, PP cambia de signo al atravesar rr.

  4. ax2+bx+c=a((x+b2a)2+4ac−b24a2)ax^2 + bx + c = a \resaltar{\left( \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a^2} \right)}

    Si b2−4ac<0b^2 - 4ac < 0, en la forma completada el corchete es un cuadrado más un número positivo: el factor tiene siempre el signo de aa, no aporta puntos críticos y, si a>0a > 0, dividir entre él conserva el sentido de una desigualdad.

EjemploUna raíz doble y un factor irreducible

Determinar dónde es positivo y dónde es no negativo el polinomio Q(x)=(x+1)2(2−x)(x2+x+1)Q(x) = (x + 1)^2 (2 - x)(x^2 + x + 1).

Demostración

  1. Δ=12−4⋅1⋅1=−3<0\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0

    Los puntos críticos son −1-1, raíz doble, y 22. El factor cuadrático no aporta ninguno, porque su discriminante es negativo.

  2. (x+1)2>0↔x≠−1(x + 1)^2 > 0 \leftrightarrow x \neq -1

    El factor (x+1)2(x + 1)^2 es un cuadrado: se anula en −1-1 y es positivo a ambos lados.

  3. 2−x>0↔x<22 - x > 0 \leftrightarrow x < 2

    El factor 2−x2 - x tiene coeficiente principal negativo: es positivo a la izquierda de 22.

  4. x2+x+1=(x+12)2+34>0x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0

    El factor irreducible es positivo en todas las columnas, como muestra el cuadrado completado.

  5. Q(x)≥0↔x≤2Q(x) \geq 0 \leftrightarrow x \leq 2

    Con la regla de los signos se obtiene la fila de QQ: el signo no cambia en −1-1, raíz de multiplicidad par, y cambia en 22. La desigualdad no estricta incluye los dos ceros.

  6. Q(x)>0↔x<2∧x≠−1Q(x) > 0 \leftrightarrow x < 2 \wedge x \neq -1

    La desigualdad estricta excluye los ceros de QQ, también el de −1-1, aunque a ambos lados de él el polinomio sea positivo.