Factorización del polinomio cuadrático y del trinomio de grado 2n

Resumen

Esta clase deduce, completando el cuadrado, la fórmula de las raíces del polinomio cuadrático, estudia el discriminante y las relaciones entre raíces y coeficientes, y obtiene la factorización $a(x - x_1)(x - x_2)$ . Extiende después el método a los trinomios de grado $2n$ , de la forma $a x^{2n} + b x^n + c$ , mediante el cambio de variable $u = x^n$ , y muestra que un trinomio de grado $4$ puede factorizarse aunque el discriminante sea negativo.

Objetivos de aprendizaje

Deducir la fórmula cuadrática completando el cuadrado y aplicarla para factorizar.
Interpretar el discriminante y usar las relaciones entre las raíces y los coeficientes.
Factorizar trinomios de grado $2n$ mediante el cambio de variable $u = x^n$ y los productos notables.
Reconocer cuándo un polinomio cuadrático es irreducible en los reales y factorizar un trinomio de grado $4$ cuyo discriminante es negativo.
Plantear problemas aplicados que conducen a una ecuación cuadrática, como el vuelo de una pelota o el diseño de un huerto, e interpretar en el contexto sus raíces y su discriminante.

El polinomio cuadrático

Un polinomio cuadrático es un polinomio de grado $2$ ; con coeficientes reales $a$ , $b$ y $c$ , y $a \neq 0$ , se escribe así:

P(x) = ax^2 + bx + c

Factorizarlo es escribirlo como producto de dos polinomios de grado $1$ . Por el teorema del factor, estudiado en la clase sobre el álgebra de polinomios, cada raíz real $r$ aporta un factor $x - r$ ; por tanto, factorizar un polinomio cuadrático equivale a encontrar sus raíces. El método para hallarlas es completar el cuadrado.

TeoremaFórmula cuadrática

Sea $ax^2 + bx + c$ un polinomio cuadrático, con $a \neq 0$ . Para todo real $x$ se cumple la igualdad siguiente, llamada forma completada; y si $b^2 - 4ac \geq 0$ , las raíces del polinomio son exactamente los números $\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ .

ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right]

La idea es geométrica: $x^2 + \frac{b}{a}x$ es el área de un cuadrado de lado $x$ más un rectángulo de lados $x$ y $\frac{b}{a}$ . Si el rectángulo se parte en dos mitades y se colocan en dos lados del cuadrado, falta solo una esquina para completar un cuadrado mayor, de lado $x + \frac{b}{2a}$ .

Demostración

$ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \dato{s}{\frac{b}{a}x} + \frac{c}{a}\right)$
Como $a \neq 0$ , sacamos $a$ como factor común.
$x^2 + \resaltar{\frac{b}{a}x} = \dato{c}{\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2} - \resaltar{\frac{b^2}{4a^2}}$
El cuadrado de $x + \frac{b}{2a}$ contiene $x^2$ , el término $\frac{b}{a}x$ y la esquina $\frac{b^2}{4a^2}$ ; restando la esquina se obtiene la suma buscada.
$ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \dato{d}{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}\right]$
Sustituimos en el paréntesis y reunimos los términos constantes en una sola fracción, porque $\frac{c}{a} = \frac{4ac}{4a^2}$ .
$ax^2 + bx + c = 0 \leftrightarrow \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
Como $a \neq 0$ , el polinomio se anula exactamente cuando se anula el corchete.
$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \resaltar{\left(\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)^2} = 0 \leftrightarrow x + \frac{b}{2a} = \resaltar{\pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}$
Si $b^2 - 4ac \geq 0$ , el número $w = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ cumple $w^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ , sea cual sea el signo de $a$ . Llamando $u$ a $x + \frac{b}{2a}$ , por la diferencia de cuadrados la ecuación es $(u - w)(u + w) = 0$ ; y un producto de reales es cero solo si lo es algún factor, por el lema del signo de un producto de la clase sobre las funciones algebraicas. De donde la ecuación equivale exactamente a $u = w$ o $u = -w$ : no se pierde ni se añade ninguna raíz.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Despejamos $x$ : es la fórmula cuadrática.