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Topos Uranos
Español

Raíces de polinomios de grado superior y división sintética

Resumen

Esta clase estudia las raíces de los polinomios de grado mayor que dos. Deduce del algoritmo de la división la división sintética, o regla de Ruffini, que divide un polinomio entre x−rx - r con solo multiplicaciones y sumas y entrega a la vez el valor P(r)P(r), y la relaciona con la regla de Horner. Demuestra el teorema de las raíces racionales, que reduce la búsqueda de raíces racionales de un polinomio de coeficientes enteros a una lista finita de candidatos, y lo aplica a la factorización completa de polinomios de grados 33 y 44, con la multiplicidad de las raíces y la división sintética repetida. Prueba dos cotas para las raíces reales, la de Cauchy y la que da la propia división sintética; enuncia el teorema fundamental del álgebra y deduce de él que todo polinomio real es producto de factores lineales y cuadráticos irreducibles; y obtiene las relaciones de Vieta de la cúbica.

Objetivos de aprendizaje

  1. Dividir un polinomio entre x−rx - r mediante la división sintética y justificar que el esquema da los coeficientes del cociente y el resto P(r)P(r).
  2. Hallar las raíces racionales de un polinomio de coeficientes enteros con el teorema de las raíces racionales, y usarlo para demostrar que ciertos números son irracionales.
  3. Factorizar por completo polinomios de grados 33 y 44, determinando la multiplicidad de cada raíz y acotando de antemano el intervalo que contiene las raíces reales.
  4. Relacionar las raíces y los coeficientes de una cúbica mediante las relaciones de Vieta, y describir la factorización de un polinomio real que asegura el teorema fundamental del álgebra.
  5. Plantear problemas aplicados que conducen a una ecuación polinómica de grado 33 o 44, como la línea de flotación de una boya, y elegir entre sus raíces las que tienen sentido en el contexto.

La división sintética

La clase sobre el álgebra de polinomios demostró el algoritmo de la división: dados dos polinomios PP y QQ, con QQ no nulo, existen un cociente y un resto únicos. Cuando el divisor es x−rx - r, el resto es una constante, que por el teorema del resto vale P(r)P(r); y por el teorema del factor, rr es una raíz de PP exactamente cuando ese resto es nulo. Buscar las raíces de un polinomio de grado superior obliga, por tanto, a dividir muchas veces entre divisores de esa forma. La división sintética, también llamada regla de Ruffini, reduce cada una de esas divisiones a una sucesión de multiplicaciones y sumas sobre los coeficientes, sin escribir la variable.

El esquema es el siguiente. Se escriben en una fila los coeficientes de PP, desde la potencia mayor hasta el término independiente, incluidos los nulos, y a la izquierda el número rr. Se baja el primer coeficiente; después, una y otra vez, se multiplica por rr el último número obtenido, se escribe el producto bajo el coeficiente siguiente y se suman los dos. Los números de la última fila, salvo el último, son los coeficientes del cociente; el último es el resto.

EjemploUna división sintética

Dividir P(x)=2x4−5x3+7x−3P(x) = 2x^4 - 5x^3 + 7x - 3 entre x−2x - 2. El polinomio no tiene término en x2x^2, de modo que su coeficiente, 00, debe escribirse en la fila: omitirlo desplazaría todos los demás. Llamamos b3b_3, b2b_2, b1b_1 y b0b_0 a los coeficientes del cociente, y RR al resto.

Demostración

  1. 2x4−5x3+0x2+7x−3→2,−5,0,7,−32x^4 - 5x^3 + \resaltar{0x^2} + 7x - 3 \rightarrow \resaltar{2, -5, 0, 7, -3}

    Escribimos los coeficientes, de la potencia mayor a la menor, incluido el 00 de x2x^2, y a la izquierda el número r=2r = 2.

  2. b3=2b_3 = \dato{b3}{\resaltar{2}}

    Bajamos el primer coeficiente: es el coeficiente principal del cociente.

  3. b2=−5+2⋅2=−1b_2 = -5 + \resaltar{2 \cdot 2} = \dato{b2}{\resaltar{-1}}

    Multiplicamos por 22 el número obtenido y sumamos el producto al coeficiente siguiente.

  4. b1=0+2⋅(−1)=−2b_1 = 0 + \resaltar{2 \cdot (-1)} = \dato{b1}{\resaltar{-2}}

    Repetimos la operación con el número recién obtenido.

  5. b0=7+2⋅(−2)=3b_0 = 7 + \resaltar{2 \cdot (-2)} = \dato{b0}{\resaltar{3}}

    Una vez más.

  6. R=−3+2⋅3=3R = -3 + \resaltar{2 \cdot 3} = \dato{R}{\resaltar{3}}

    La última suma da el resto.

  7. 2x4−5x3+7x−3=(x−2)(2x3−x2−2x+3)+32x^4 - 5x^3 + 7x - 3 = (x - 2)\left( \resaltar{2x^3 - x^2 - 2x + 3} \right) + \resaltar{3}

    El cociente tiene grado 33, uno menos que el dividendo, y sus coeficientes son los de la última fila; el resto es 33, que coincide con P(2)=32−40+14−3P(2) = 32 - 40 + 14 - 3, como exige el teorema del resto.

Que el esquema funcione no es una casualidad del ejemplo; el teorema siguiente lo demuestra en general, comparando coeficientes en la igualdad de la división.

TeoremaDivisión sintética

Sean P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 un polinomio de grado n≥1n \geq 1 y rr un número real. Si se definen bn−1=anb_{n - 1} = a_n, después bk−1=ak+rbkb_{k - 1} = a_k + r b_k para kk desde n−1n - 1 hasta 11, y finalmente R=a0+rb0R = a_0 + r b_0, entonces el cociente de la división de PP entre x−rx - r es bn−1xn−1+⋯+b1x+b0b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_1 x + b_0, y el resto es R=P(r)R = P(r).

La demostración compara los coeficientes de los dos miembros de la igualdad de la división; la figura sigue el caso n=3n = 3.

Demostración

  1. P(x)=(x−r)(bn−1xn−1+⋯+b1x+b0)+R\dato{d}{P(x) = (x - r)\left( b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_1 x + b_0 \right) + R}

    Por el algoritmo de la división, existen un cociente CC y un resto RR únicos. Como el divisor tiene grado 11, el resto es una constante y, por la regla del grado del producto, el cociente tiene grado n−1n - 1; llamamos bkb_k a sus coeficientes.

  2. (x−r)(bn−1xn−1+⋯+b0)=bn−1xn+(bn−2−rbn−1)xn−1+⋯+(b0−rb1)x−rb0(x - r)\left( b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_0 \right) = \resaltar{b_{n - 1}} x^n + \resaltar{\left( b_{n - 2} - r b_{n - 1} \right)} x^{n - 1} + \cdots + \resaltar{\left( b_0 - r b_1 \right)} x \resaltar{- r b_0}

    Desarrollamos el producto: cada coeficiente bkb_k aparece dos veces, multiplicado por xx en el término de grado k+1k + 1 y multiplicado por −r-r en el de grado kk.

  3. an=bn−1,ak=bk−1−rbk,a0=R−rb0\dato{c}{a_n = b_{n - 1}, \quad a_k = b_{k - 1} - r b_k, \quad a_0 = R - r b_0}

    Por el principio de identidad, los coeficientes de cada potencia coinciden en los dos miembros de la igualdad de la división; la igualdad central vale para kk desde 11 hasta n−1n - 1.

  4. bn−1=an,bk−1=ak+rbk,R=a0+rb0b_{n - 1} = a_n, \quad \resaltar{b_{k - 1} = a_k + r b_k}, \quad \resaltar{R = a_0 + r b_0}

    Despejamos: el primer coeficiente se baja, y cada uno de los siguientes, como el resto, es el coeficiente de PP más rr veces el número anterior. Recíprocamente, los números así definidos cumplen las igualdades anteriores, de modo que dan una división de PP entre x−rx - r; por la unicidad del cociente y del resto, son exactamente los de la división.

  5. P(r)=(r−r)C(r)+R=RP(r) = \resaltar{(r - r)} C(r) + R = \resaltar{R}

    Al evaluar la igualdad de la división en x=rx = r, el primer sumando se anula: el último número de la tabla es P(r)P(r).

La división sintética y la regla de Horner

La regla de Horner, demostrada en la clase sobre los sistemas de numeración posicional, calcula el valor de una suma de potencias partiendo del coeficiente principal y repitiendo la operación de multiplicar por la base y sumar el coeficiente siguiente. Es exactamente lo que hace la última fila de la división sintética con la base rr: los números bn−1,bn−2,…,b0b_{n - 1}, b_{n - 2}, \ldots, b_0 son los resultados parciales de la regla de Horner aplicada en x=rx = r, y el último paso da el valor del polinomio.

R=(⋯((anr+an−1)r+an−2)⋯ )r+a0=P(r)R = \left( \cdots \left( \left( a_n r + a_{n - 1} \right) r + a_{n - 2} \right) \cdots \right) r + a_0 = P(r)

De ello se sigue que la regla de Horner ofrece una segunda demostración del teorema del resto, y que la división sintética es, a la vez, el modo más económico de evaluar un polinomio y de dividirlo: evaluar en rr cuesta nn multiplicaciones y nn sumas, y la misma cuenta deja escrito el cociente. Por el teorema del factor, rr es raíz exactamente cuando el último número de la tabla es 00.

Para dividir entre un divisor lineal ax−bax - b, con a≠0a \neq 0, basta observar que ax−b=a(x−ba)ax - b = a\left( x - \frac{b}{a} \right): se divide entre x−bax - \frac{b}{a} con la división sintética, y el cociente obtenido se divide entre aa; el resto no cambia.

P(x)=(x−ba)C(x)+R=(ax−b)⋅C(x)a+RP(x) = \left( x - \frac{b}{a} \right) C(x) + R = (ax - b) \cdot \frac{C(x)}{a} + R