Funciones algebraicas de números reales

Resumen

Esta clase presenta el concepto de función, con su dominio y su recorrido, y estudia las funciones algebraicas de una variable real: las que se obtienen de la variable mediante sumas, restas, productos, cocientes, potencias y raíces. Enseña a determinar el dominio de una función definida por una fórmula y a calcular el recorrido en casos sencillos, estudia las gráficas de las potencias y de las raíces, y clasifica las funciones en algebraicas y trascendentes, y las algebraicas en polinómicas, racionales e irracionales.

Objetivos de aprendizaje

Enunciar la definición de función y distinguir, en cada caso, su dominio, su codominio y su recorrido.
Determinar el dominio de una función algebraica definida por una fórmula.
Calcular el recorrido de funciones algebraicas sencillas despejando la variable.
Trazar las gráficas de las potencias de exponente natural y de las raíces a partir de su monotonía y de su paridad.
Clasificar una función como polinómica, racional, irracional o trascendente.

Variables y expresiones algebraicas

Una variable es un símbolo que representa un lugar donde puede escribirse un número. Para los números reales se usan tradicionalmente las letras $x$ , $y$ y $t$ ; la letra $z$ suele reservarse para los complejos. Cuando hacen falta muchas variables se usan subíndices: $x_1, x_2, \ldots, x_n$ .

Una expresión algebraica es la que se forma con variables y números reales mediante un número finito de sumas, restas, productos, cocientes, potencias de exponente entero y raíces. Por ejemplo:

x^3 + 5x + \frac{6}{\sqrt{x}}, \qquad \frac{2x + 3}{\sqrt[3]{x - 1}}

Una expresión algebraica no siempre tiene sentido para todos los valores de la variable: la primera, por ejemplo, no lo tiene si $x$ es negativo, porque no existe la raíz cuadrada, ni si $x$ es cero, porque se dividiría entre cero. Precisar dónde lo tiene es el primer problema que plantea el estudio de las funciones.

En el resto de esta clase

El concepto de función
El dominio de una función definida por una fórmula
El signo de un producto y la raíz de un producto
Funciones de varias variables
El recorrido
Clasificación de las funciones
Las gráficas de las potencias y de las raíces
Problemas resueltos
El dominio de un cociente con una raíz
El dominio de la raíz de un cociente
El recorrido de una función racional
El recorrido de una función cuadrática
Una ecuación polinómica para una función irracional
Problemas propuestos
Un dominio que depende de un parámetro
La altura de un tiro vertical
Un recorrido acotado sin despejar del todo
La suma de dos raíces complementarias
La suma de dos raíces es algebraica