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Topos Uranos
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Conjuntos numéricos: de los naturales a los complejos

Resumen

Esta clase muestra cómo, a partir de los números naturales, se construyen sucesivamente los enteros, los racionales, los reales y los complejos. Cada ampliación nace para que una operación inversa (la resta, la división, la raíz) quede definida sin restricciones, y conserva las propiedades del conjunto anterior. Se recuerda por qué 2\sqrt{2} no es un número racional, se demuestra que los racionales no son completos, se enuncian los axiomas que se admiten para los números reales (los de cuerpo, los de orden y el de completitud) y se explica por qué los reales exigen, además de las raíces, la completitud.

Objetivos de aprendizaje

  1. Identificar qué operación inversa motiva cada ampliación, desde los naturales hasta los complejos.
  2. Enunciar con precisión las propiedades de la suma y del producto en cada conjunto numérico, y los axiomas de cuerpo ordenado completo que se admiten para los números reales.
  3. Aplicar las leyes de las potencias de exponente entero y la definición de raíz principal.
  4. Demostrar por reducción al absurdo que una raíz no es un número racional.
  5. Distinguir los números racionales, irracionales, reales y complejos.

Las operaciones inversas como motor de la ampliación

Los números naturales, definidos en la clase sobre los axiomas de Peano, permiten sumar y multiplicar sin restricción alguna: la suma y el producto de dos naturales son siempre naturales. No ocurre lo mismo con las operaciones inversas. Cada una de las siguientes ecuaciones está escrita con números naturales y, sin embargo, ninguna tiene solución entre ellos:

x+5=3,3x=2,x2=2,x2=−1x + 5 = 3, \qquad 3x = 2, \qquad x^2 = 2, \qquad x^2 = -1

La primera exige una resta que los naturales no admiten; la segunda, una división; la tercera, una raíz; la cuarta, la raíz de un número negativo. Para resolverlas se amplía el conjunto de los naturales en cuatro etapas, cada una de las cuales contiene a la anterior:

N⊂Z⊂Q⊂R⊂C\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

Todas las ampliaciones obedecen a un mismo principio, que guía el resto de la clase:

Cada nuevo conjunto numérico conserva las operaciones y las propiedades del anterior, y añade los elementos necesarios para que una operación inversa, antes restringida, quede definida.