Saltar al contenido
Topos Uranos
Español

Funciones racionales: asíntotas y gráfico

Resumen

Una función racional es el cociente de dos polinomios. Esta clase enseña a estudiarla y a esbozar su gráfico con dos instrumentos algebraicos: la tabla de signos y la división de polinomios. Los ceros del denominador fijan el dominio y dan, según se anule o no el numerador en ellos, puntos evitables o asíntotas verticales, junto a las cuales la tabla de signos decide hacia dónde escapa la curva. La división escribe la función como un polinomio más una fracción que tiende a cero, y ese polinomio es la asíntota horizontal, oblicua o curvilínea a la que el gráfico se acerca cuando la variable tiende a infinito. Con los cortes con los ejes se completa el esbozo, y el recorrido se obtiene despejando la variable cuando es posible o, en otro caso, a partir del comportamiento de las ramas.

Objetivos de aprendizaje

  1. Determinar el dominio de una función racional y distinguir, entre los ceros del denominador, los puntos evitables de las asíntotas verticales.
  2. Describir el comportamiento de una función racional a cada lado de una asíntota vertical mediante su tabla de signos.
  3. Obtener, mediante la división de polinomios, la asíntota horizontal, oblicua o curvilínea de una función racional y la posición del gráfico respecto de ella.
  4. Esbozar el gráfico de una función racional y determinar su recorrido, con exactitud cuando la ecuación y=f(x)y = f(x) puede resolverse y, en otro caso, en la medida en que lo permiten sus ramas.
  5. Modelar con funciones racionales situaciones aplicadas, como la potencia que entrega una batería, el costo medio de una producción o la concentración de una mezcla, e interpretar en el contexto sus asíntotas y su recorrido.

Funciones racionales y su dominio

En la clase sobre las funciones algebraicas se llamó racional a toda función que es cociente de dos polinomios, con un denominador que no es el polinomio nulo:

f(x)=P(x)Q(x)f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

Su dominio está formado por los reales que no anulan el denominador. Hallarlo exige, por tanto, encontrar las raíces de QQ, y para ello sirven la fórmula de las raíces y las técnicas de la clase sobre la factorización del polinomio cuadrático, junto con los teoremas del resto y del factor de la clase sobre el álgebra de polinomios. Todo el estudio de una función racional comienza, en consecuencia, por factorizar su denominador.

Ahora bien, no todos los ceros del denominador desempeñan el mismo papel. Como se vio en la clase sobre tablas de signos e inecuaciones, si un número rr anula a la vez a QQ y a PP, por el teorema del factor ambos polinomios son divisibles por x−rx - r, y el factor común se cancela en todos los puntos del dominio. Si el denominador de la fracción simplificada ya no se anula en rr, el número rr es un punto evitable: el gráfico de ff es el de la fracción simplificada con un único punto suprimido, y la función estaría definida en rr si se le asignara el valor de la fracción simplificada. Si, por el contrario, después de cancelar todos los factores comunes el número rr sigue anulando el denominador, la recta x=rx = r es una asíntota vertical, como se precisa a continuación. Por eso conviene simplificar la fracción antes de estudiarla, sin olvidar que los números cancelados siguen fuera del dominio.