Funciones con raíces: dominio, signos y gráfico

Resumen

Esta clase extiende a las funciones con raíces el método de las tablas de signos y de la división de polinomios: determina su dominio cuando hay raíces en el numerador y en el denominador, estudia su signo y su comportamiento en los bordes del dominio, donde la gráfica termina en un punto o se acerca a una asíntota vertical, y halla sus asíntotas para valores grandes de la variable sacando de cada raíz la mayor potencia de $x$ , con atención a los casos $x$ positivo y $x$ negativo. Termina con el recorrido, que se determina exactamente cuando los límites en los bordes lo permiten, y con el análisis completo de funciones cuyo radicando es un trinomio de grado $8$ .

Objetivos de aprendizaje

Determinar el dominio de una función con raíces en el numerador y en el denominador mediante tablas de signos y la factorización de trinomios de grado $2n$ .
Estudiar el signo de una función con raíces y su comportamiento en los bordes del dominio, distinguiendo los extremos en que la gráfica termina de las asíntotas verticales.
Hallar las asíntotas de una función con raíces cuando $x$ tiende a $\infty$ y a $-\infty$ , tratando por separado los valores positivos y negativos de la variable.
Trazar la gráfica de una función con raíces y determinar su recorrido cuando el análisis lo permite, reconociendo los casos que exigen las técnicas del cálculo diferencial.
Analizar funciones con raíces que describen magnitudes aplicadas, como la diferencia de las distancias a dos antenas o el factor de Lorentz de la relatividad, e interpretar en el contexto su dominio, sus asíntotas y su recorrido.

El dominio de una función con raíces

En la clase sobre las funciones algebraicas se establecieron las reglas que fijan el dominio de una función definida por una fórmula: ningún denominador puede valer cero, y el radicando de una raíz de índice par no puede ser negativo. Cuando la raíz está en un denominador, ambas reglas actúan a la vez, y su radicando debe ser estrictamente positivo; cuando está en el numerador, basta que sea no negativo. Las raíces de índice impar no imponen condición alguna, salvo la de no anularse si están en un denominador.

Si los radicandos son polinomios de grado mayor que $1$ , cada condición es una inecuación polinómica, que se resuelve factorizando y construyendo una tabla de signos, como en la clase sobre tablas de signos e inecuaciones. Los factores cuadráticos se obtienen con la fórmula de las raíces, y los trinomios de la forma $a x^{2n} + b x^n + c$ se reducen a cuadráticos con el cambio de variable $u = x^n$ , como en la clase sobre la factorización del polinomio cuadrático y 2n-cuadrático. Un factor cuadrático de discriminante negativo conserva siempre el signo de su coeficiente principal, de modo que no aporta puntos críticos y puede quitarse de la tabla.

El dominio de una función con raíces se obtiene reuniendo todas las condiciones a la vez: radicando no negativo para cada raíz de índice par del numerador, radicando positivo para cada raíz de índice par de un denominador, y denominadores distintos de cero. Cada condición se resuelve con una tabla de signos, y el dominio es la intersección de los conjuntos obtenidos.