Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Πίνακες προσήμων και ανισώσεις

Περίληψη

Αυτό το μάθημα διδάσκει πώς προσδιορίζεται το πρόσημο ενός πολυωνύμου και ενός πηλίκου πολυωνύμων από την παραγοντοποίησή τους, οργανώνοντας την ανάλυση σε έναν πίνακα προσήμων. Μελετά τον ρόλο της πολλαπλότητας των ριζών και των ανάγωγων τετραγωνικών παραγόντων, διακρίνει, στα σημεία μηδενισμού του παρονομαστή, τις κατακόρυφες ασύμπτωτες από τα αιρόμενα σημεία, με μια πρώτη διαισθητική ιδέα του ορίου, και εφαρμόζει τη μέθοδο στην επίλυση πολυωνυμικών και ρητών ανισώσεων, γνήσιων και μη γνήσιων, καθώς και στον προσδιορισμό του πεδίου ορισμού συναρτήσεων με πηλίκα και ρίζες, μαζί με τις εμφωλευμένες ρίζες. Είναι το πρώτο από τρία μαθήματα αφιερωμένα στο πεδίο ορισμού, στο σύνολο τιμών και στη γραφική παράσταση των αλγεβρικών συναρτήσεων.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να κατασκευάζει τον πίνακα προσήμων ενός παραγοντοποιημένου πολυωνύμου, λαμβάνοντας υπόψη την πολλαπλότητα κάθε ρίζας και τους ανάγωγους τετραγωνικούς παράγοντες.
  2. Να προσδιορίζει το πρόσημο ενός πηλίκου πολυωνύμων και να αναγνωρίζει, στα σημεία μηδενισμού του παρονομαστή, τις κατακόρυφες ασύμπτωτες και τα αιρόμενα σημεία.
  3. Να επιλύει πολυωνυμικές και ρητές ανισώσεις, γνήσιες και μη γνήσιες, χωρίς να πολλαπλασιάζει με παραστάσεις αγνώστου προσήμου.
  4. Να προσδιορίζει το πεδίο ορισμού συναρτήσεων με πηλίκα και ρίζες, μαζί με τις εμφωλευμένες ρίζες, με τη βοήθεια πινάκων προσήμων.
  5. Να μεταφράζει σε ανισώσεις εφαρμοσμένα προβλήματα, όπως η διάρκεια ενός ταξιδιού, η δράση ενός φαρμάκου ή ο σχεδιασμός μιας συσκευασίας, και να τις επιλύει με πίνακες προσήμων.

Το πρόσημο ενός πολυωνύμου

Πολλά ερωτήματα για μια συνάρτηση ανάγονται στο να ξέρουμε πού μια παράσταση είναι θετική, αρνητική ή μηδέν: το πεδίο ορισμού μιας τετραγωνικής ρίζας απαιτεί μη αρνητική υπόρριζη ποσότητα, μια ανίσωση ρωτά πού μια παράσταση είναι θετική, και η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx ακριβώς εκεί όπου η συνάρτηση είναι θετική. Το εργαλείο που απαντά σε αυτό το ερώτημα είναι ο πίνακας προσήμων, και πρώτη ύλη του είναι η παραγοντοποίηση που μελετήθηκε στο μάθημα για την παραγοντοποίηση του δευτεροβάθμιου πολυωνύμου.

Το πρόσημο ενός γραμμικού παράγοντα

Ένας γραμμικός παράγοντας ax+bax + b, με a≠0a \neq 0, μηδενίζεται μόνο στο x=−bax = -\frac{b}{a} και έχει σταθερό πρόσημο σε κάθε πλευρά αυτού του σημείου. Αν a>0a > 0, είναι αρνητικός αριστερά και θετικός δεξιά· αν a<0a < 0, αντίστροφα. Για παράδειγμα, το x−3x - 3 είναι θετικό ακριβώς όταν x>3x > 3, και το 2−x2 - x ακριβώς όταν x<2x < 2:

x−3>0↔x>3,2−x>0↔x<2x - 3 > 0 \leftrightarrow x > 3, \qquad 2 - x > 0 \leftrightarrow x < 2
ΛήμμαΠρόσημο γραμμικού παράγοντα

Έστω ax+bax + b ένα πολυώνυμο βαθμού 11, με ρίζα r=−bar = -\frac{b}{a}. Αν a>0a > 0, τότε το ax+bax + b είναι θετικό ακριβώς όταν x>rx > r και αρνητικό ακριβώς όταν x<rx < r· αν a<0a < 0, είναι θετικό ακριβώς όταν x<rx < r και αρνητικό ακριβώς όταν x>rx > r.

Χρησιμοποιούνται οι κανόνες για τις πράξεις με ανισότητες, που αποδείχθηκαν στο μάθημα για την πραγματική ευθεία, και το λήμμα για το πρόσημο ενός γινομένου από το μάθημα για τις αλγεβρικές συναρτήσεις.

Απόδειξη

  1. ax+b=a(x+ba)=a (x−r)ax + b = a\left( x + \frac{b}{a} \right) = \dato{f}{a \, \resaltar{(x - r)}}

    Βγάζουμε το aa κοινό παράγοντα: ο γραμμικός παράγοντας είναι το aa επί τη διαφορά x−rx - r, που είναι θετική ακριβώς όταν x>rx > r, μηδέν στο rr και αρνητική ακριβώς όταν x<rx < r.

  2. a>0→(ax+b>0↔x>r)a > 0 \rightarrow \left( ax + b > 0 \leftrightarrow \resaltar{x > r} \right)

    Σύμφωνα με το λήμμα για το πρόσημο ενός γινομένου, το a(x−r)a(x - r) είναι θετικό ακριβώς όταν τα aa και x−rx - r είναι ομόσημα. Αν a>0a > 0, αυτό συμβαίνει ακριβώς όταν x>rx > r.

  3. a<0→(ax+b>0↔x<r)a < 0 \rightarrow \left( ax + b > 0 \leftrightarrow \resaltar{x < r} \right)

    Αν a<0a < 0, το γινόμενο είναι θετικό ακριβώς όταν το x−rx - r είναι αρνητικό, δηλαδή όταν x<rx < r· και στις δύο περιπτώσεις το γινόμενο είναι αρνητικό ακριβώς όταν τα πρόσημα είναι αντίθετα.

Ο πίνακας προσήμων ενός γινομένου

Ας υποθέσουμε ότι ένα πολυώνυμο είναι γραμμένο ως γινόμενο γραμμικών παραγόντων. Οι αριθμοί στους οποίους μηδενίζεται κάποιος παράγοντας λέγονται κρίσιμα σημεία· διατεταγμένοι από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο, χωρίζουν την πραγματική ευθεία σε ανοικτά διαστήματα. Όμως καθένα από αυτά τα διαστήματα βρίσκεται ολόκληρο στην ίδια πλευρά της ρίζας κάθε παράγοντα, ώστε, σύμφωνα με το λήμμα για το πρόσημο ενός γραμμικού παράγοντα, κανένας παράγοντας δεν αλλάζει πρόσημο μέσα σε αυτό· έπεται ότι και το γινόμενο έχει σταθερό πρόσημο σε κάθε διάστημα. Αυτό το πρόσημο το δίνει ο κανόνας των προσήμων, που επεκτείνει σε nn παράγοντες το λήμμα για το πρόσημο ενός γινομένου δύο παραγόντων, το οποίο αποδείχθηκε στο μάθημα για τις αλγεβρικές συναρτήσεις. Η επέκταση αποδεικνύεται με επαγωγή, όπως στο μάθημα για τα αθροίσματα, τις προόδους και την επαγωγή.

ΛήμμαΚανόνας των προσήμων

Ένα γινόμενο nn μη μηδενικών πραγματικών παραγόντων είναι διάφορο του μηδενός· είναι αρνητικό αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων του είναι περιττό, και θετικό αν είναι άρτιο.

Έστω c1,c2,…,cnc_1, c_2, \ldots, c_n μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί και Πn=c1c2⋯cn\Pi_n = c_1 c_2 \cdots c_n το γινόμενό τους. Εργαζόμαστε με επαγωγή ως προς το πλήθος nn των παραγόντων. Το σχήμα δείχνει τους παράγοντες σε μια σειρά και, κάτω από τον καθένα, το πρόσημο του γινομένου που έχει συσσωρευτεί μέχρι αυτόν.

Απόδειξη

  1. c>0→(p⋅c>0↔p>0),c<0→(p⋅c>0↔p<0)\dato{pos}{c > 0 \rightarrow (p \cdot c > 0 \leftrightarrow p > 0)}, \quad \dato{neg}{c < 0 \rightarrow (p \cdot c > 0 \leftrightarrow p < 0)}

    Σύμφωνα με το λήμμα για το πρόσημο ενός γινομένου δύο παραγόντων, το γινόμενο ενός μη μηδενικού πραγματικού pp επί έναν μη μηδενικό πραγματικό cc δεν είναι μηδέν· αν ο cc είναι θετικός, έχει το πρόσημο του pp, και αν ο cc είναι αρνητικός, το αντίθετο πρόσημο.

  2. Π1=c1\Pi_1 = c_1

    Αρχική περίπτωση: αν n=1n = 1, το γινόμενο είναι ο ίδιος ο παράγοντας, που είναι αρνητικός ακριβώς όταν υπάρχει ένας αρνητικός παράγοντας, και το 11 είναι περιττό.

  3. Πn+1=Πn⋅cn+1\dato{h}{\Pi_{n + 1} = \Pi_n \cdot c_{n + 1}}

    Επαγωγική υπόθεση: το Πn\Pi_n είναι αρνητικό αν το πλήθος knk_n των αρνητικών παραγόντων του είναι περιττό, και θετικό αν είναι άρτιο. Προσθέτουμε έναν ακόμη παράγοντα.

  4. cn+1>0→kn+1=knc_{n + 1} > 0 \rightarrow \resaltar{k_{n + 1} = k_n}

    Αν ο cn+1c_{n + 1} είναι θετικός, το πρόσημο του γινομένου δεν αλλάζει, και το πλήθος των αρνητικών παραγόντων δεν αλλάζει: ο κανόνας ισχύει για n+1n + 1 παράγοντες.

  5. cn+1<0→kn+1=kn+1c_{n + 1} < 0 \rightarrow \resaltar{k_{n + 1} = k_n + 1}

    Αν ο cn+1c_{n + 1} είναι αρνητικός, το πρόσημο αντιστρέφεται και το πλήθος των αρνητικών παραγόντων αυξάνεται κατά ένα, πράγμα που αλλάζει την αρτιότητά του. Ο κανόνας ισχύει και πάλι, και από την αρχή της μαθηματικής επαγωγής ισχύει για κάθε nn.

Ο πίνακας προσήμων οργανώνει αυτόν τον συλλογισμό. Οι στήλες του είναι τα διαστήματα που ορίζουν τα κρίσιμα σημεία· έχει μία γραμμή για κάθε παράγοντα και μια τελευταία γραμμή για το γινόμενο, που προκύπτει στήλη προς στήλη με τον κανόνα των προσήμων. Σε κάθε κρίσιμο σημείο σημειώνεται ένα 00 στις γραμμές των παραγόντων που μηδενίζονται, και επίσης στη γραμμή του γινομένου.

ΠαράδειγμαΟ πίνακας προσήμων ενός γινομένου

Να προσδιοριστεί το πρόσημο του πολυωνύμου P(x)=(x+2)(x−1)(x−3)P(x) = (x + 2)(x - 1)(x - 3) σε κάθε σημείο της πραγματικής ευθείας.

Απόδειξη

  1. P(x)=0↔x=−2∨x=1∨x=3P(x) = 0 \leftrightarrow x = -2 \vee x = 1 \vee x = 3

    Τα κρίσιμα σημεία είναι οι ρίζες των τριών παραγόντων. Χωρίζουν την ευθεία σε τέσσερα διαστήματα, που είναι οι στήλες του πίνακα.

  2. x+2>0↔x>−2x + 2 > 0 \leftrightarrow x > -2

    Ο παράγοντας x+2x + 2 μηδενίζεται στο −2-2· είναι αρνητικός αριστερά αυτού του σημείου και θετικός δεξιά.

  3. x−1>0↔x>1x - 1 > 0 \leftrightarrow x > 1

    Ο παράγοντας x−1x - 1 αλλάζει πρόσημο στο 11.

  4. x−3>0↔x>3x - 3 > 0 \leftrightarrow x > 3

    Ο παράγοντας x−3x - 3 αλλάζει πρόσημο στο 33.

  5. P(x)<0↔x<−2∨1<x<3P(x) < 0 \leftrightarrow x < -2 \vee 1 < x < 3

    Σε κάθε στήλη μετράμε τους αρνητικούς παράγοντες: τρεις, δύο, έναν και κανέναν. Το γινόμενο είναι αρνητικό όταν το πλήθος τους είναι περιττό.

  6. P(x)>0↔−2<x<1∨x>3P(x) > 0 \leftrightarrow -2 < x < 1 \vee x > 3

    Στις υπόλοιπες στήλες το γινόμενο είναι θετικό, και μηδενίζεται στα τρία κρίσιμα σημεία. Η γραφική παράσταση το επιβεβαιώνει: η καμπύλη βρίσκεται πάνω από τον άξονα ακριβώς σε αυτά τα διαστήματα, και τον τέμνει σε κάθε κρίσιμο σημείο.

Πολλαπλότητα και ανάγωγοι παράγοντες

Δεν αναλύεται κάθε πολυώνυμο σε διαφορετικούς γραμμικούς παράγοντες. Όπως είδαμε στο μάθημα για τις ρίζες πολυωνύμων ανώτερου βαθμού, το rr είναι ρίζα πολλαπλότητας kk όταν το πολυώνυμο είναι το (x−r)k(x - r)^k επί ένα άλλο πολυώνυμο που δεν μηδενίζεται στο rr, και αυτή η πολλαπλότητα προσδιορίζεται με επαναλαμβανόμενη συνθετική διαίρεση· στον πίνακα, ο αντίστοιχος παράγοντας είναι ο (x−r)k(x - r)^k. Από την άλλη πλευρά, σύμφωνα με το θεώρημα για το πρόσημο της διακρίνουσας, που αποδείχθηκε στο μάθημα για την παραγοντοποίηση του δευτεροβάθμιου πολυωνύμου, ένας τετραγωνικός παράγοντας ax2+bx+cax^2 + bx + c με αρνητική διακρίνουσα είναι ανάγωγος και δεν έχει πραγματικές ρίζες. Η πρόταση που ακολουθεί λέει ποιον ρόλο παίζει ο καθένας στον πίνακα.

ΠρότασηΠρόσημο και πολλαπλότητα

Το πρόσημο ενός παραγοντοποιημένου πολυωνύμου αλλάζει όταν διασχίζουμε ένα κρίσιμο σημείο αν και μόνο αν η πολλαπλότητα αυτής της ρίζας είναι περιττή. Οι ανάγωγοι τετραγωνικοί παράγοντες έχουν σταθερό πρόσημο, εκείνο του μεγιστοβάθμιου συντελεστή τους, και μπορούν να απαλειφθούν από μια ανίσωση όταν είναι θετικοί, επειδή η διαίρεση με θετικό αριθμό διατηρεί την ανισότητα.

Έστω rr μια ρίζα πολλαπλότητας kk του πολυωνύμου PP. Το σχήμα παρακολουθεί την απόδειξη με r=1r = 1 και τον συμπαράγοντα x+2x + 2, και στο τέλος με τον ανάγωγο παράγοντα x2+x+1x^2 + x + 1.

Απόδειξη

  1. P(x)=(x−r)kC(x),C(r)≠0\dato{p}{P(x) = \resaltar{(x - r)^k} C(x), \quad C(r) \neq 0}

    Γράφουμε το PP απομονώνοντας τον παράγοντα της rr. Ανάμεσα στο rr και στο πλησιέστερο κρίσιμο σημείο του CC, κανένας παράγοντας του CC δεν μηδενίζεται, και σύμφωνα με τον κανόνα των προσήμων το CC έχει σταθερό πρόσημο και στις δύο πλευρές του rr.

  2. k=2j→(x−r)k=((x−r)j)2>0,x≠rk = 2j \rightarrow (x - r)^k = \resaltar{\left( (x - r)^j \right)^2} > 0, \quad x \neq r

    Αν το kk είναι άρτιο, το (x−r)k(x - r)^k είναι το τετράγωνο ενός μη μηδενικού αριθμού και στις δύο πλευρές του rr, και είναι θετικό: το PP έχει εκεί το πρόσημο του CC, που δεν αλλάζει.

  3. k=2j+1→(x−r)k=(x−r)((x−r)j)2k = 2j + 1 \rightarrow (x - r)^k = \resaltar{(x - r)} \left( (x - r)^j \right)^2

    Αν το kk είναι περιττό, το (x−r)k(x - r)^k είναι το x−rx - r επί ένα θετικό τετράγωνο, και έχει το πρόσημο του x−rx - r, που αλλάζει στο rr: σύμφωνα με τον κανόνα των προσήμων, το PP αλλάζει πρόσημο όταν διασχίζουμε το rr.

  4. ax2+bx+c=a((x+b2a)2+4ac−b24a2)ax^2 + bx + c = a \resaltar{\left( \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a^2} \right)}

    Αν b2−4ac<0b^2 - 4ac < 0, στη μορφή συμπληρωμένου τετραγώνου η αγκύλη είναι ένα τετράγωνο συν έναν θετικό αριθμό: ο παράγοντας έχει πάντα το πρόσημο του aa, δεν προσθέτει κρίσιμα σημεία και, αν a>0a > 0, η διαίρεση με αυτόν διατηρεί τη φορά μιας ανισότητας.

ΠαράδειγμαΜια διπλή ρίζα και ένας ανάγωγος παράγοντας

Να προσδιοριστεί πού είναι θετικό και πού είναι μη αρνητικό το πολυώνυμο Q(x)=(x+1)2(2−x)(x2+x+1)Q(x) = (x + 1)^2 (2 - x)(x^2 + x + 1).

Απόδειξη

  1. Δ=12−4⋅1⋅1=−3<0\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0

    Τα κρίσιμα σημεία είναι το −1-1, διπλή ρίζα, και το 22. Ο τετραγωνικός παράγοντας δεν προσθέτει κανένα, επειδή η διακρίνουσά του είναι αρνητική.

  2. (x+1)2>0↔x≠−1(x + 1)^2 > 0 \leftrightarrow x \neq -1

    Ο παράγοντας (x+1)2(x + 1)^2 είναι τετράγωνο: μηδενίζεται στο −1-1 και είναι θετικός και στις δύο πλευρές.

  3. 2−x>0↔x<22 - x > 0 \leftrightarrow x < 2

    Ο παράγοντας 2−x2 - x έχει αρνητικό μεγιστοβάθμιο συντελεστή: είναι θετικός αριστερά του 22.

  4. x2+x+1=(x+12)2+34>0x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0

    Ο ανάγωγος παράγοντας είναι θετικός σε όλες τις στήλες, όπως δείχνει το συμπληρωμένο τετράγωνο.

  5. Q(x)≥0↔x≤2Q(x) \geq 0 \leftrightarrow x \leq 2

    Με τον κανόνα των προσήμων προκύπτει η γραμμή του QQ: το πρόσημο δεν αλλάζει στο −1-1, ρίζα άρτιας πολλαπλότητας, και αλλάζει στο 22. Η μη αυστηρή ανισότητα περιλαμβάνει τις δύο ρίζες.

  6. Q(x)>0↔x<2∧x≠−1Q(x) > 0 \leftrightarrow x < 2 \wedge x \neq -1

    Η αυστηρή ανισότητα αποκλείει τις ρίζες του QQ, και εκείνη στο −1-1, αν και στις δύο πλευρές της το πολυώνυμο είναι θετικό.