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Topos Uranos
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부호표와 부등식

요약

이 수업에서는 다항식과 다항식의 몫의 부호를 인수분해로부터 정하는 방법을 배우고, 그 분석을 부호표로 정리한다. 근의 중복도와 기약 이차 인수의 역할을 살펴보고, 분모가 영이 되는 점에서 수직 점근선과 제거 가능한 점을 구별하며, 극한에 대한 첫 직관적 개념을 제시한다. 또한 이 방법을 다항부등식과 유리부등식(엄격한 것과 엄격하지 않은 것)의 풀이와, 몫과 거듭제곱근을 포함하는 함수의 정의역을 중첩된 거듭제곱근까지 포함하여 구하는 데 적용한다. 이는 대수함수의 정의역, 치역, 그래프를 다루는 세 수업 가운데 첫 번째이다.

학습 목표

  1. 인수분해된 다항식의 부호표를 각 근의 중복도와 기약 이차 인수를 고려하여 만든다.
  2. 다항식의 몫의 부호를 정하고, 분모가 영이 되는 점에서 수직 점근선과 제거 가능한 점을 알아본다.
  3. 다항부등식과 유리부등식을, 엄격한 것이든 엄격하지 않은 것이든, 부호를 모르는 식을 곱하지 않고 푼다.
  4. 몫과 거듭제곱근을 포함하는 함수의 정의역을, 중첩된 거듭제곱근까지 포함하여, 부호표를 이용해 구한다.
  5. 여행의 소요 시간, 약의 효과, 용기의 설계와 같은 응용 문제를 부등식으로 옮기고, 부호표로 푼다.

다항식의 부호

함수에 관한 많은 물음은 어떤 식이 어디에서 양수, 음수, 영이 되는지를 아는 것으로 귀결된다. 제곱근의 정의역은 근호 안의 식이 음이 아닐 것을 요구하고, 부등식은 어떤 식이 어디에서 양수인지를 묻고, 함수의 그래프는 정확히 함수가 양수인 곳에서 xx축보다 위에 있다. 이 물음에 답하는 도구가 부호표이며, 그 재료는 이차다항식의 인수분해에 관한 수업에서 배운 인수분해이다.

일차 인수의 부호

일차 인수 ax+bax + b(단, a≠0a \neq 0)은 x=−bax = -\frac{b}{a}에서만 영이 되고, 그 점의 양쪽 각각에서 부호가 일정하다. a>0a > 0이면 왼쪽에서 음수, 오른쪽에서 양수이고, a<0a < 0이면 그 반대이다. 예를 들어 x−3x - 3이 양수인 것은 정확히 x>3x > 3일 때이고, 2−x2 - x가 양수인 것은 정확히 x<2x < 2일 때이다:

x−3>0↔x>3,2−x>0↔x<2x - 3 > 0 \leftrightarrow x > 3, \qquad 2 - x > 0 \leftrightarrow x < 2
보조정리일차 인수의 부호

ax+bax + b를 차수 11의 다항식이라 하고, 그 근을 r=−bar = -\frac{b}{a}이라 하자. a>0a > 0이면 ax+bax + b가 양수인 것은 정확히 x>rx > r일 때이고, 음수인 것은 정확히 x<rx < r일 때이다. a<0a < 0이면 양수인 것은 정확히 x<rx < r일 때이고, 음수인 것은 정확히 x>rx > r일 때이다.

실수 직선에 관한 수업에서 증명한 부등식의 계산 규칙과, 대수 함수에 관한 수업의 곱의 부호에 관한 보조정리를 사용한다.

증명

  1. ax+b=a(x+ba)=a (x−r)ax + b = a\left( x + \frac{b}{a} \right) = \dato{f}{a \, \resaltar{(x - r)}}

    aa를 공통인수로 묶어 낸다. 일차 인수는 aa와 차 x−rx - r의 곱이며, 이 차는 정확히 x>rx > r일 때 양수, rr에서 영, 정확히 x<rx < r일 때 음수이다.

  2. a>0→(ax+b>0↔x>r)a > 0 \rightarrow \left( ax + b > 0 \leftrightarrow \resaltar{x > r} \right)

    곱의 부호에 관한 보조정리에 의해, a(x−r)a(x - r)이 양수인 것은 정확히 aa와 x−rx - r의 부호가 같을 때이다. a>0a > 0이면 이는 정확히 x>rx > r일 때 일어난다.

  3. a<0→(ax+b>0↔x<r)a < 0 \rightarrow \left( ax + b > 0 \leftrightarrow \resaltar{x < r} \right)

    a<0a < 0이면 곱이 양수인 것은 정확히 x−rx - r이 음수일 때, 곧 x<rx < r일 때이다. 그리고 두 경우 모두, 곱이 음수인 것은 정확히 부호가 반대일 때이다.

곱의 부호표

다항식이 일차 인수들의 곱으로 쓰여 있다고 하자. 어떤 인수가 영이 되는 수들을 임계점이라 한다. 임계점들을 작은 것부터 큰 것 순으로 늘어놓으면 실수 직선이 열린구간들로 나뉜다. 그런데 이 구간들은 각각 모든 인수의 근에 대하여 완전히 같은 쪽에 있으므로, 일차 인수의 부호에 관한 보조정리에 의해 어떤 인수도 구간 안에서 부호를 바꾸지 않는다. 이로부터 곱도 각 구간에서 부호가 일정하다는 것이 따라 나온다. 이 부호를 주는 것이 부호 규칙이며, 이것은 두 인수의 곱의 부호에 관한 보조정리를 nn개의 인수로 확장한 것이다. 그 보조정리는 대수 함수에 관한 수업에서 증명하였다. 이 확장은 합, 수열, 귀납법에 관한 수업에서와 같이 귀납법으로 증명한다.

보조정리부호 규칙

영이 아닌 실수 인수 nn개의 곱은 영과 다르다. 음수인 인수의 개수가 홀수이면 곱은 음수이고, 짝수이면 양수이다.

c1,c2,…,cnc_1, c_2, \ldots, c_n을 영이 아닌 실수라 하고, Πn=c1c2⋯cn\Pi_n = c_1 c_2 \cdots c_n를 그 곱이라 하자. 인수의 개수 nn에 대한 귀납법으로 논증한다. 그림은 인수들을 한 줄로 늘어놓고, 각 인수 아래에 그 인수까지 누적된 곱의 부호를 보여 준다.

증명

  1. c>0→(p⋅c>0↔p>0),c<0→(p⋅c>0↔p<0)\dato{pos}{c > 0 \rightarrow (p \cdot c > 0 \leftrightarrow p > 0)}, \quad \dato{neg}{c < 0 \rightarrow (p \cdot c > 0 \leftrightarrow p < 0)}

    두 인수의 곱의 부호에 관한 보조정리에 의해, 영이 아닌 실수 pp와 영이 아닌 실수 cc의 곱은 영이 아니다. cc가 양수이면 곱은 pp와 같은 부호를 가지고, cc가 음수이면 반대 부호를 가진다.

  2. Π1=c1\Pi_1 = c_1

    초기 경우: n=1n = 1이면 곱은 그 인수 자체이며, 그것이 음수인 것은 정확히 음수인 인수가 하나 있을 때이고, 11은 홀수이다.

  3. Πn+1=Πn⋅cn+1\dato{h}{\Pi_{n + 1} = \Pi_n \cdot c_{n + 1}}

    귀납 가정: Πn\Pi_n은 음수인 인수의 개수 knk_n이 홀수이면 음수이고, 짝수이면 양수이다. 인수를 하나 더 붙인다.

  4. cn+1>0→kn+1=knc_{n + 1} > 0 \rightarrow \resaltar{k_{n + 1} = k_n}

    cn+1c_{n + 1}이 양수이면 곱의 부호는 바뀌지 않고, 음수인 인수의 개수도 바뀌지 않는다. 규칙은 n+1n + 1개의 인수에 대하여 성립한다.

  5. cn+1<0→kn+1=kn+1c_{n + 1} < 0 \rightarrow \resaltar{k_{n + 1} = k_n + 1}

    cn+1c_{n + 1}이 음수이면 부호가 뒤집히고, 음수인 인수의 개수는 하나 늘어나 그 홀짝성이 바뀐다. 이 경우에도 규칙은 성립하며, 수학적 귀납법의 원리에 의해 모든 nn에 대하여 성립한다.

부호표는 이 추론을 정리한 것이다. 그 열은 임계점들이 정하는 구간들이며, 인수마다 한 행과, 곱을 위한 마지막 한 행이 있다. 곱의 행은 부호 규칙에 따라 열마다 구한다. 각 임계점에서는 영이 되는 인수들의 행과 곱의 행에도 00을 적는다.

예시곱의 부호표

다항식 P(x)=(x+2)(x−1)(x−3)P(x) = (x + 2)(x - 1)(x - 3)의 부호를 실수 직선의 각 점에서 구하여라.

증명

  1. P(x)=0↔x=−2∨x=1∨x=3P(x) = 0 \leftrightarrow x = -2 \vee x = 1 \vee x = 3

    임계점은 세 인수의 근이다. 이들은 직선을 네 구간으로 나누며, 그것이 표의 열이 된다.

  2. x+2>0↔x>−2x + 2 > 0 \leftrightarrow x > -2

    인수 x+2x + 2는 −2-2에서 영이 된다. 그 점의 왼쪽에서 음수, 오른쪽에서 양수이다.

  3. x−1>0↔x>1x - 1 > 0 \leftrightarrow x > 1

    인수 x−1x - 1은 11에서 부호를 바꾼다.

  4. x−3>0↔x>3x - 3 > 0 \leftrightarrow x > 3

    인수 x−3x - 3은 33에서 부호를 바꾼다.

  5. P(x)<0↔x<−2∨1<x<3P(x) < 0 \leftrightarrow x < -2 \vee 1 < x < 3

    각 열에서 음수인 인수를 세면 셋, 둘, 하나, 없음이다. 그 개수가 홀수일 때 곱은 음수이다.

  6. P(x)>0↔−2<x<1∨x>3P(x) > 0 \leftrightarrow -2 < x < 1 \vee x > 3

    나머지 열에서 곱은 양수이고, 세 임계점에서 영이 된다. 그래프가 이를 확인해 준다. 곡선은 정확히 이 구간들에서 축 위에 있고, 각 임계점에서 축을 가로지른다.

중복도와 기약 인수

모든 다항식이 서로 다른 일차 인수로 분해되는 것은 아니다. 고차 다항식의 근에 관한 수업에서 보았듯이, rr이 중복도 kk의 근이라는 것은 다항식이 (x−r)k(x - r)^k과, rr에서 영이 되지 않는 다른 다항식의 곱이라는 뜻이며, 이 중복도는 조립제법을 되풀이하여 구한다. 표에서 이에 대응하는 인수는 (x−r)k(x - r)^k이다. 한편 이차다항식의 인수분해에 관한 수업에서 증명한 판별식의 부호에 관한 정리에 의해, 판별식이 음수인 이차 인수 ax2+bx+cax^2 + bx + c는 기약이며 실근을 가지지 않는다. 아래의 명제는 각각이 표에서 어떤 역할을 하는지 말해 준다.

명제부호와 중복도

인수분해된 다항식의 부호가 임계점을 지날 때 바뀌는 것은 그 근의 중복도가 홀수일 때, 그리고 그때에 한한다. 기약 이차 인수는 부호가 일정하며 그 부호는 최고차항의 계수의 부호이고, 양수일 때는 부등식에서 없앨 수 있다. 양수로 나누어도 부등식은 유지되기 때문이다.

rr을 중복도 kk의 근(다항식 PP의 근)이라 하자. 그림은 r=1r = 1, 나머지 인수 x+2x + 2인 경우에 증명을 따라가고, 마지막에 기약 인수 x2+x+1x^2 + x + 1의 경우를 보여 준다.

증명

  1. P(x)=(x−r)kC(x),C(r)≠0\dato{p}{P(x) = \resaltar{(x - r)^k} C(x), \quad C(r) \neq 0}

    PP를 rr에 대응하는 인수를 떼어 내어 쓴다. rr과 CC의 가장 가까운 임계점 사이에서는 CC의 어떤 인수도 영이 되지 않으며, 부호 규칙에 의해 CC는 rr의 양쪽에서 부호가 일정하다.

  2. k=2j→(x−r)k=((x−r)j)2>0,x≠rk = 2j \rightarrow (x - r)^k = \resaltar{\left( (x - r)^j \right)^2} > 0, \quad x \neq r

    kk가 짝수이면 (x−r)k(x - r)^k은 rr의 양쪽에서 영이 아닌 수의 제곱이므로 양수이다. 그곳에서 PP는 CC와 같은 부호를 가지며, 그 부호는 바뀌지 않는다.

  3. k=2j+1→(x−r)k=(x−r)((x−r)j)2k = 2j + 1 \rightarrow (x - r)^k = \resaltar{(x - r)} \left( (x - r)^j \right)^2

    kk가 홀수이면 (x−r)k(x - r)^k은 x−rx - r과 양의 제곱의 곱이고, x−rx - r과 같은 부호를 가지는데, 그 부호는 rr에서 바뀐다. 부호 규칙에 의해 PP는 rr을 지날 때 부호를 바꾼다.

  4. ax2+bx+c=a((x+b2a)2+4ac−b24a2)ax^2 + bx + c = a \resaltar{\left( \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a^2} \right)}

    b2−4ac<0b^2 - 4ac < 0이면 완전제곱 꼴에서 대괄호 안은 제곱과 양수의 합이다. 이 인수는 항상 aa와 같은 부호를 가지고 임계점을 만들지 않으며, a>0a > 0이면 이것으로 나누어도 부등식의 방향은 유지된다.

예시이중근과 기약 인수

다항식 Q(x)=(x+1)2(2−x)(x2+x+1)Q(x) = (x + 1)^2 (2 - x)(x^2 + x + 1)이 양수인 범위와 음이 아닌 범위를 구하여라.

증명

  1. Δ=12−4⋅1⋅1=−3<0\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0

    임계점은 이중근 −1-1과 22이다. 이차 인수는 임계점을 만들지 않는다. 판별식이 음수이기 때문이다.

  2. (x+1)2>0↔x≠−1(x + 1)^2 > 0 \leftrightarrow x \neq -1

    인수 (x+1)2(x + 1)^2은 제곱이다. −1-1에서 영이 되고 그 양쪽에서 양수이다.

  3. 2−x>0↔x<22 - x > 0 \leftrightarrow x < 2

    인수 2−x2 - x의 최고차항의 계수는 음수이다. 22의 왼쪽에서 양수이다.

  4. x2+x+1=(x+12)2+34>0x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0

    기약 인수는, 완전제곱식이 보여 주듯이, 모든 열에서 양수이다.

  5. Q(x)≥0↔x≤2Q(x) \geq 0 \leftrightarrow x \leq 2

    부호 규칙에 의해 QQ의 행을 얻는다. 부호는 −1-1(짝수 중복도의 근)에서 바뀌지 않고, 22에서 바뀐다. 엄격하지 않은 부등식은 두 영점을 포함한다.

  6. Q(x)>0↔x<2∧x≠−1Q(x) > 0 \leftrightarrow x < 2 \wedge x \neq -1

    엄격한 부등식은 QQ의 영점을 제외하며, −1-1의 영점도 제외한다. 그 양쪽에서 다항식이 양수인데도 그러하다.