이차다항식과 2n차 삼항식의 인수분해

요약

이 수업에서는 완전제곱식 만들기로 이차식의 근의 공식을 유도하고, 판별식과 근과 계수의 관계를 살펴보며, 인수분해 $a(x - x_1)(x - x_2)$ 를 얻는다. 이어서 이 방법을 차수가 $2n$ 인 삼항식, 곧 $a x^{2n} + b x^n + c$ 꼴의 삼항식으로 치환 $u = x^n$ 를 이용하여 확장하고, 차수가 $4$ 인 삼항식은 판별식이 음수이더라도 인수분해할 수 있음을 보인다.

학습 목표

완전제곱식 만들기로 근의 공식을 유도하고, 이를 인수분해에 적용한다.
판별식을 해석하고, 근과 계수의 관계를 이용한다.
차수가 $2n$ 인 삼항식을 치환 $u = x^n$ 와 곱셈 공식으로 인수분해한다.
이차식이 실수 범위에서 기약인 경우를 판별하고, 판별식이 음수인 차수 $4$ 의 삼항식을 인수분해한다.
공의 비행이나 텃밭의 설계처럼 이차방정식으로 이어지는 응용 문제를 세우고, 그 근과 판별식을 문맥 속에서 해석한다.

이차식

이차식은 차수가 $2$ 인 다항식이다. 실수 계수 $a$ , $b$ , $c$ 를 가지고 $a \neq 0$ 일 때, 이렇게 쓴다:

P(x) = ax^2 + bx + c

이것을 인수분해한다는 것은 두 개의 $1$ 차 다항식의 곱으로 쓰는 것이다. 다항식의 대수에 관한 수업에서 공부한 인수정리에 의해, 각 실근 $r$ 은 인수 $x - r$ 을 준다. 따라서 이차식을 인수분해하는 것은 그 근을 구하는 것과 동치이다. 근을 구하는 방법은 완전제곱식 만들기이다.

정리근의 공식

$ax^2 + bx + c$ 를 이차식이라 하고, $a \neq 0$ 라 하자. 모든 실수 $x$ 에 대하여 아래의 등식이 성립하며, 이를 완전제곱 꼴이라 한다. 또 $b^2 - 4ac \geq 0$ 이면, 이 다항식의 근은 정확히 수 $\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 이다.

ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right]

발상은 기하학적이다: $x^2 + \frac{b}{a}x$ 는 한 변이 $x$ 인 정사각형의 넓이에 두 변이 $x$ 와 $\frac{b}{a}$ 인 직사각형의 넓이를 더한 것이다. 직사각형을 두 개의 절반으로 나누어 정사각형의 두 변에 붙이면, 한 변이 $x + \frac{b}{2a}$ 인 더 큰 정사각형을 완성하는 데 모서리 하나만 모자란다.

증명

$ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \dato{s}{\frac{b}{a}x} + \frac{c}{a}\right)$
$a \neq 0$ 이므로, $a$ 를 공통인수로 묶어 낸다.
$x^2 + \resaltar{\frac{b}{a}x} = \dato{c}{\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2} - \resaltar{\frac{b^2}{4a^2}}$
$x + \frac{b}{2a}$ 의 제곱은 $x^2$ , 항 $\frac{b}{a}x$ , 모서리 $\frac{b^2}{4a^2}$ 를 포함한다. 모서리를 빼면 구하는 합이 얻어진다.
$ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \dato{d}{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}\right]$
괄호 안에 대입하고 상수항을 하나의 분수로 모은다. $\frac{c}{a} = \frac{4ac}{4a^2}$ 이기 때문이다.
$ax^2 + bx + c = 0 \leftrightarrow \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
$a \neq 0$ 이므로, 다항식은 정확히 대괄호가 영이 될 때 영이 된다.
$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \resaltar{\left(\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)^2} = 0 \leftrightarrow x + \frac{b}{2a} = \resaltar{\pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}$
$b^2 - 4ac \geq 0$ 이면, 수 $w = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 는 $w^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ 을 만족하며, 이는 $a$ 의 부호와 상관없다. $u$ 로 $x + \frac{b}{2a}$ 를 나타내면, 제곱의 차에 의해 방정식은 $(u - w)(u + w) = 0$ 이 된다. 그리고 대수 함수에 관한 수업의 곱의 부호에 관한 보조정리에 의해, 실수의 곱은 어느 인수가 영일 때에만 영이다. 그러므로 방정식은 정확히 $u = w$ 또는 $u = -w$ 와 동치이다: 근은 하나도 잃지 않고 하나도 더해지지 않는다.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$x$ 에 대하여 푼다: 이것이 근의 공식이다.