二次多項式と 2n 次三項式の因数分解

要約

この課では、平方完成によって 2 次式の根の公式を導き、判別式と解と係数の関係を調べ、因数分解 $a(x - x_1)(x - x_2)$ を得る。続いて、この方法を次数 $2n$ の三項式、すなわち $a x^{2n} + b x^n + c$ の形の三項式に、置き換え $u = x^n$ によって拡張し、次数 $4$ の三項式は判別式が負であっても因数分解できることを示す。

学習目標

平方完成によって解の公式を導き、それを因数分解に用いる。
判別式を解釈し、解と係数の関係を用いる。
次数 $2n$ の三項式を、置き換え $u = x^n$ と乗法公式によって因数分解する。
2 次式が実数の範囲で既約になるのはどのようなときかを見分け、判別式が負である次数 $4$ の三項式を因数分解する。
ボールの飛行や菜園の設計のように 2 次方程式に帰着する応用問題を立て、その根と判別式を文脈の中で解釈する。

2 次式

2 次式とは次数 $2$ の多項式のことである。実数の係数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ をもち、 $a \neq 0$ であるとき、次のように書ける：

P(x) = ax^2 + bx + c

これを因数分解するとは、二つの $1$ 次多項式の積として書くことである。多項式の代数の課で学んだ因数定理により、各実数根 $r$ は因数 $x - r$ を与える。したがって、2 次式を因数分解することは、その根を求めることと同値である。根を求める方法は平方完成である。

定理解の公式

$ax^2 + bx + c$ を 2 次式とし、 $a \neq 0$ とする。すべての実数 $x$ について以下の等式が成り立ち、これを平方完成形という。また $b^2 - 4ac \geq 0$ ならば、この多項式の根はちょうど数 $\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ である。

ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right]

発想は幾何的である： $x^2 + \frac{b}{a}x$ は、一辺 $x$ の正方形の面積に、辺が $x$ と $\frac{b}{a}$ の長方形の面積を加えたものである。長方形を二つの半分に分けて正方形の二辺に沿って置くと、一辺 $x + \frac{b}{2a}$ の大きな正方形を完成させるには角が一つ欠けているだけである。

証明

$ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \dato{s}{\frac{b}{a}x} + \frac{c}{a}\right)$
$a \neq 0$ なので、 $a$ をくくり出す。
$x^2 + \resaltar{\frac{b}{a}x} = \dato{c}{\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2} - \resaltar{\frac{b^2}{4a^2}}$
$x + \frac{b}{2a}$ の平方は $x^2$ 、項 $\frac{b}{a}x$ 、角 $\frac{b^2}{4a^2}$ を含む。角を引くと求める和が得られる。
$ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \dato{d}{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}\right]$
かっこの中に代入し、定数項を一つの分数にまとめる。 $\frac{c}{a} = \frac{4ac}{4a^2}$ だからである。
$ax^2 + bx + c = 0 \leftrightarrow \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
$a \neq 0$ なので、多項式が零になるのは、ちょうど大かっこの中が零になるときである。
$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \resaltar{\left(\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)^2} = 0 \leftrightarrow x + \frac{b}{2a} = \resaltar{\pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}$
$b^2 - 4ac \geq 0$ ならば、数 $w = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ は $w^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ を満たす。これは $a$ の符号によらない。 $u$ で $x + \frac{b}{2a}$ を表すと、平方の差により方程式は $(u - w)(u + w) = 0$ となる。また、代数関数の課の積の符号の補題により、実数の積が零になるのはいずれかの因数が零のときに限る。したがって、方程式は $u = w$ または $u = -w$ とちょうど同値である：根は一つも失われず、一つも加わらない。
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$x$ について解く：これが解の公式である。