Factorisation des trinômes du second degré et de degré 2n

Résumé

Cette leçon établit, en complétant le carré, la formule du second degré, étudie le discriminant et les relations entre coefficients et racines, et obtient la factorisation $a(x - x_1)(x - x_2)$ . Elle étend ensuite la méthode aux trinômes de degré $2n$ , de la forme $a x^{2n} + b x^n + c$ , au moyen du changement de variable $u = x^n$ , et montre qu’un trinôme de degré $4$ peut se factoriser même lorsque le discriminant est strictement négatif.

Objectifs d’apprentissage

Établir la formule du second degré en complétant le carré et l’appliquer pour factoriser.
Interpréter le discriminant et utiliser les relations entre les coefficients et les racines.
Factoriser des trinômes de degré $2n$ au moyen du changement de variable $u = x^n$ et des identités remarquables.
Reconnaître quand un trinôme du second degré est irréductible sur les réels et factoriser un trinôme de degré $4$ dont le discriminant est strictement négatif.
Mettre en équation des problèmes appliqués qui conduisent à une équation du second degré, comme le vol d’une balle ou l’aménagement d’un potager, et interpréter dans leur contexte ses racines et son discriminant.

Le trinôme du second degré

Un trinôme du second degré est un polynôme de degré $2$ ; à coefficients réels $a$ , $b$ et $c$ , et avec $a \neq 0$ , il s’écrit ainsi :

P(x) = ax^2 + bx + c

Le factoriser, c’est l’écrire comme produit de deux polynômes de degré $1$ . D’après le théorème du facteur, étudié dans la leçon sur l’algèbre des polynômes, chaque racine réelle $r$ fournit un facteur $x - r$ ; par conséquent, factoriser un trinôme du second degré revient à trouver ses racines. La méthode pour les trouver consiste à compléter le carré.

ThéorèmeFormule des racines du trinôme

Soit $ax^2 + bx + c$ un trinôme du second degré, avec $a \neq 0$ . Pour tout réel $x$ , l’égalité ci-dessous, appelée forme canonique, est vérifiée ; et si $b^2 - 4ac \geq 0$ , les racines du polynôme sont exactement les nombres $\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ .

ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right]

L’idée est géométrique : $x^2 + \frac{b}{a}x$ est l’aire d’un carré de côté $x$ augmentée de celle d’un rectangle de côtés $x$ et $\frac{b}{a}$ . Si l’on coupe le rectangle en deux moitiés et qu’on les place le long de deux côtés du carré, il ne manque qu’un coin pour compléter un carré plus grand, de côté $x + \frac{b}{2a}$ .

Démonstration

$ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \dato{s}{\frac{b}{a}x} + \frac{c}{a}\right)$
Comme $a \neq 0$ , nous mettons $a$ en facteur.
$x^2 + \resaltar{\frac{b}{a}x} = \dato{c}{\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2} - \resaltar{\frac{b^2}{4a^2}}$
Le carré de $x + \frac{b}{2a}$ contient $x^2$ , le terme $\frac{b}{a}x$ et le coin $\frac{b^2}{4a^2}$ ; en retranchant le coin, nous obtenons la somme cherchée.
$ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \dato{d}{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}\right]$
Nous substituons dans la parenthèse et regroupons les termes constants en une seule fraction, car $\frac{c}{a} = \frac{4ac}{4a^2}$ .
$ax^2 + bx + c = 0 \leftrightarrow \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
Comme $a \neq 0$ , le polynôme s’annule exactement lorsque le crochet s’annule.
$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \resaltar{\left(\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)^2} = 0 \leftrightarrow x + \frac{b}{2a} = \resaltar{\pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}$
Si $b^2 - 4ac \geq 0$ , le nombre $w = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ vérifie $w^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ , quel que soit le signe de $a$ . En appelant $u$ l’expression $x + \frac{b}{2a}$ , la différence de deux carrés donne l’équation $(u - w)(u + w) = 0$ ; et un produit de réels n’est nul que si l’un des facteurs l’est, d’après le lemme du signe d’un produit de la leçon sur les fonctions algébriques. Il en résulte que l’équation équivaut exactement à $u = w$ ou $u = -w$ : aucune racine n’est perdue ni ajoutée.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Nous isolons $x$ : c’est la formule du second degré.