Algèbre des polynômes réels

Polynômes

Un polynôme à coefficients réels en la variable $x$ est une expression de la forme suivante, où $n$ est un entier naturel ou zéro et où les coefficients $a_0, a_1, \ldots, a_n$ sont des nombres réels :

Chacune des quantités $a_i x^i$ que l’on additionne s’appelle un terme, et $a_0$ est le terme constant. Chaque polynôme définit une fonction : celle qui associe à chaque réel $x$ le nombre $P(x)$ obtenu en remplaçant la variable par $x$ dans l’expression. Les fonctions ainsi obtenues, appelées fonctions polynômes, sont les fonctions algébriques les plus simples, présentées dans la leçon sur les fonctions algébriques.

Deux polynômes sont égaux lorsqu’ils ont les mêmes coefficients, puissance par puissance, une fois complétées par des coefficients nuls les puissances qui manquent dans l’un d’eux ; ainsi, $1 + 0x + 3x^2$ et $1 + 3x^2$ sont le même polynôme. Le polynôme dont tous les coefficients sont nuls s’appelle le polynôme nul.

Le degré d’un polynôme non nul est le plus grand exposant dont le coefficient est différent de zéro ; ce coefficient s’appelle le coefficient dominant. Ainsi, $P(x) = 3 - x + 5x^4$ est de degré $4$ et de coefficient dominant $5$, et l’on écrit $\deg(P) = 4$. Le polynôme nul n’a pas de degré, car il n’a aucun coefficient différent de zéro. Comme le degré et le coefficient dominant se lisent sur les coefficients, et que deux polynômes égaux ont les mêmes coefficients, tous deux sont bien définis.

Or un polynôme s’utilise presque toujours à travers la fonction qu’il définit, et l’on peut se demander si deux polynômes distincts pourraient définir la même fonction ; s’il en était ainsi, le degré d’une fonction polynôme ne serait pas bien défini. Le principe d’identification, qui se démontre dans la section sur le nombre de racines, répond que non : deux polynômes définissent la même fonction si et seulement s’ils sont égaux. Jusque-là, tout ce qui se dit sur les polynômes, et en particulier sur leur degré, porte sur leurs coefficients, de sorte qu’aucune démonstration antérieure à ce principe n’en dépend. Ensuite, chaque polynôme peut être identifié à sa fonction, et il est légitime de comparer les coefficients dans une égalité entre fonctions polynômes, comme dans le problème résolu 5.

Classification

Les polynômes se classent, en premier lieu, selon leur degré :

1. Constants : ceux de degré $0$, de la forme $P(x) = c$ avec $c \neq 0$, ainsi que le polynôme nul.
2. Du premier degré, de degré $1$ : $P(x) = a_0 + a_1 x$, avec $a_1 \neq 0$.
3. Du second degré, de degré $2$, et cubiques, de degré $3$ ; ceux de degrés plus élevés se nomment par leur nombre : de degré $4$, de degré $5$, et ainsi de suite.

Selon son nombre de termes non nuls, un polynôme s’appelle un monôme s’il en a un, un binôme s’il en a deux et un trinôme s’il en a trois.