实系数多项式的代数

多项式

关于变量 $x$ 的实系数多项式是如下形式的表达式，其中 $n$ 是自然数或零，系数 $a_0, a_1, \ldots, a_n$ 是实数：

每个加项 $a_i x^i$ 称为项，$a_0$ 称为常数项。每个多项式都定义一个函数：它把每个实数 $x$ 对应到数 $P(x)$，即在表达式中把变量换成 $x$ 所得的数。这样得到的函数称为多项式函数，是最简单的代数函数，已在关于代数函数的课中介绍过。

两个多项式如果逐个幂次的系数都相同（先在其中一个缺少的幂次处补上零系数），就称为相等；因此，$1 + 0x + 3x^2$ 和 $1 + 3x^2$ 是同一个多项式。所有系数都为零的多项式称为零多项式。

非零多项式的次数是系数不为零的最大指数；这个系数称为首项系数。例如，$P(x) = 3 - x + 5x^4$ 的次数为 $4$，首项系数为 $5$，记作 $\deg(P) = 4$。零多项式没有次数，因为它没有任何不为零的系数。由于次数和首项系数都是从系数读出的，而两个相等的多项式有相同的系数，所以二者都是良定义的。

然而，多项式几乎总是通过它所定义的函数来使用的，于是自然要问：两个不同的多项式能否定义同一个函数？如果可以，多项式函数的次数就不是良定义的。多项式恒等原理（将在后面讨论根的个数的部分中证明）给出否定的回答：两个多项式定义同一个函数，当且仅当它们相等。在此之前，关于多项式所说的一切，特别是关于其次数的一切，都是就其系数而言的，因此在这个原理之前的任何证明都不依赖于它。此后，每个多项式都可以与它的函数等同起来，在多项式函数之间的等式中比较系数也就有了根据，如例题 5 所做的那样。

分类

多项式首先按次数分类：

1. 常数多项式：次数为 $0$ 的多项式，形如 $P(x) = c$（其中 $c \neq 0$），以及零多项式。
2. 一次多项式，次数为 $1$：$P(x) = a_0 + a_1 x$，其中 $a_1 \neq 0$。
3. 二次多项式，次数为 $2$，以及三次多项式，次数为 $3$；更高次的多项式按次数称呼：$4$ 次、$5$ 次，依此类推。

按非零项的个数，多项式有一项时称为单项式，有两项时称为二项式，有三项时称为三项式。