वास्तविक गुणांकों वाले बहुपदों का बीजगणित

बहुपद

चर $x$ में वास्तविक गुणांकों वाला बहुपद निम्नलिखित रूप का व्यंजक है, जहाँ $n$ एक प्राकृत संख्या या शून्य है और गुणांक $a_0, a_1, \ldots, a_n$ वास्तविक संख्याएँ हैं:

प्रत्येक योज्य $a_i x^i$ पद कहलाता है, और $a_0$ अचर पद है। प्रत्येक बहुपद एक फलन परिभाषित करता है: वह फलन जो प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ को संख्या $P(x)$ देता है, जो व्यंजक में चर के स्थान पर $x$ रखने से प्राप्त होती है। इस प्रकार प्राप्त फलन, जिन्हें बहुपद फलन कहा जाता है, सबसे सरल बीजीय फलन हैं, जिन्हें बीजीय फलनों पर पाठ में प्रस्तुत किया गया था।

दो बहुपद बराबर होते हैं जब उनके गुणांक, घात-दर-घात, समान हों, जब किसी एक में अनुपस्थित घातों को शून्य गुणांकों से पूरा कर दिया गया हो; इस प्रकार, $1 + 0x + 3x^2$ और $1 + 3x^2$ एक ही बहुपद हैं। वह बहुपद जिसके सभी गुणांक शून्य हैं, शून्य बहुपद कहलाता है।

किसी शून्येतर बहुपद की घात वह सबसे बड़ा घातांक है जिसका गुणांक शून्य से अलग है; वह गुणांक अग्रग गुणांक कहलाता है। इस प्रकार, $P(x) = 3 - x + 5x^4$ की घात $4$ है और अग्रग गुणांक $5$ है, और लिखा जाता है $\deg(P) = 4$। शून्य बहुपद की कोई घात नहीं होती, क्योंकि उसका कोई भी गुणांक शून्य से अलग नहीं है। चूँकि घात और अग्रग गुणांक गुणांकों से पढ़े जाते हैं, और दो बराबर बहुपदों के गुणांक समान होते हैं, इसलिए दोनों सुपरिभाषित हैं।

परंतु, बहुपद का उपयोग लगभग हमेशा उसके द्वारा परिभाषित फलन के माध्यम से होता है, और यह पूछना स्वाभाविक है कि क्या दो अलग बहुपद एक ही फलन परिभाषित कर सकते हैं; यदि ऐसा होता, तो किसी बहुपद फलन की घात सुपरिभाषित न होती। सर्वसमिका सिद्धांत, जो मूलों की संख्या वाले हिस्से में सिद्ध किया जाता है, उत्तर देता है कि नहीं: दो बहुपद एक ही फलन परिभाषित करते हैं यदि और केवल यदि वे बराबर हों। तब तक, बहुपदों के बारे में जो कुछ भी कहा जाता है, और विशेष रूप से उनकी घात के बारे में, वह उनके गुणांकों से संबंधित है, जिससे उस सिद्धांत से पहले की कोई भी उपपत्ति उस पर निर्भर नहीं करती। उसके बाद, प्रत्येक बहुपद को उसके फलन के साथ एकरूप माना जा सकता है, और बहुपद फलनों के बीच किसी समता में गुणांकों की तुलना करना उचित ठहरता है, जैसा हल किए गए प्रश्न 5 में होता है।

वर्गीकरण

बहुपदों का वर्गीकरण, सबसे पहले, उनकी घात के अनुसार किया जाता है:

1. अचर: घात $0$ वाले, जिनका रूप $P(x) = c$ है जहाँ $c \neq 0$, और साथ में शून्य बहुपद।
2. रैखिक, घात $1$ वाले: $P(x) = a_0 + a_1 x$, जहाँ $a_1 \neq 0$।
3. द्विघात, घात $2$ वाले, और त्रिघात, घात $3$ वाले; उच्चतर घातों वाले बहुपदों को उनकी संख्या से पुकारा जाता है: घात $4$ वाले, घात $5$ वाले, इत्यादि।

अपने शून्येतर पदों की संख्या के अनुसार, कोई बहुपद एकपदी कहलाता है यदि उसका एक पद हो, द्विपद यदि दो हों और त्रिपद यदि तीन हों।