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Topos Uranos
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द्विघात बहुपद और घात 2n वाले त्रिपद का गुणनखंडन

सारांश

यह पाठ वर्ग पूरा करके द्विघात बहुपद के मूलों का सूत्र निगमित करता है, विविक्तकर तथा मूलों और गुणांकों के संबंधों का अध्ययन करता है, और गुणनखंडन a(x−x1)(x−x2)a(x - x_1)(x - x_2) प्राप्त करता है। इसके बाद यह विधि को घात 2n2n वाले त्रिपदों तक, जिनका रूप ax2n+bxn+ca x^{2n} + b x^n + c है, चर-प्रतिस्थापन u=xnu = x^n के द्वारा विस्तारित करता है, और दिखाता है कि घात 44 वाले त्रिपद का गुणनखंडन तब भी हो सकता है जब विविक्तकर ऋणात्मक हो।

अधिगम उद्देश्य

  1. वर्ग पूरा करके द्विघात सूत्र निगमित करना और उसे गुणनखंडन में लागू करना।
  2. विविक्तकर की व्याख्या करना और मूलों और गुणांकों के संबंधों का उपयोग करना।
  3. घात 2n2n वाले त्रिपदों का गुणनखंडन चर-प्रतिस्थापन u=xnu = x^n और बीजीय सर्वसमिकाओं के द्वारा करना।
  4. पहचानना कि कोई द्विघात बहुपद वास्तविक संख्याओं पर कब अखंडनीय होता है, और ऐसे त्रिपद का गुणनखंडन करना जिसकी घात 44 है और जिसका विविक्तकर ऋणात्मक है।
  5. ऐसे अनुप्रयुक्त प्रश्न बनाना जो द्विघात समीकरण तक ले जाते हैं, जैसे गेंद की उड़ान या किसी बगीचे की रूपरेखा, और संदर्भ में उसके मूलों और उसके विविक्तकर की व्याख्या करना।

द्विघात बहुपद

द्विघात बहुपद घात 22 वाला बहुपद है; वास्तविक गुणांकों aa, bb और cc के साथ, जहाँ a≠0a \neq 0, इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c

इसका गुणनखंडन करने का अर्थ है इसे घात 11 वाले दो बहुपदों के गुणनफल के रूप में लिखना। गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, जिसका अध्ययन बहुपदों के बीजगणित पर पाठ में किया गया, प्रत्येक वास्तविक मूल (शून्यक) rr एक गुणनखंड x−rx - r देता है; अतः किसी द्विघात बहुपद का गुणनखंडन करना उसके मूल ज्ञात करने के तुल्य है। उन्हें ज्ञात करने की विधि वर्ग पूरा करना है।

प्रमेयद्विघात सूत्र

मान लीजिए ax2+bx+cax^2 + bx + c एक द्विघात बहुपद है, जहाँ a≠0a \neq 0। प्रत्येक वास्तविक xx के लिए नीचे दी गई समता सत्य है, जिसे पूर्ण वर्ग रूप कहते हैं; और यदि b2−4ac≥0b^2 - 4ac \geq 0, तो बहुपद के मूल ठीक-ठीक संख्याएँ −b±b2−4ac2a\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} हैं।

ax2+bx+c=a[(x+b2a)2−b2−4ac4a2]ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right]

विचार ज्यामितीय है: x2+baxx^2 + \frac{b}{a}x एक वर्ग का क्षेत्रफल है जिसकी भुजा xx है, और उसमें जुड़ा एक आयत जिसकी भुजाएँ xx और ba\frac{b}{a} हैं। यदि आयत को दो आधे हिस्सों में काटकर वर्ग की दो भुजाओं पर रख दिया जाए, तो एक बड़ा वर्ग, जिसकी भुजा x+b2ax + \frac{b}{2a} है, पूरा करने के लिए केवल एक कोना कम रहता है।

प्रमाण

  1. ax2+bx+c=a(x2+bax+ca)ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \dato{s}{\frac{b}{a}x} + \frac{c}{a}\right)

    चूँकि a≠0a \neq 0, हम aa को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में बाहर निकालते हैं।

  2. x2+bax=(x+b2a)2−b24a2x^2 + \resaltar{\frac{b}{a}x} = \dato{c}{\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2} - \resaltar{\frac{b^2}{4a^2}}

    x+b2ax + \frac{b}{2a} के वर्ग में x2x^2, पद bax\frac{b}{a}x और कोना b24a2\frac{b^2}{4a^2} होते हैं; कोना घटाने पर वांछित योग प्राप्त होता है।

  3. ax2+bx+c=a[(x+b2a)2−b2−4ac4a2]ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \dato{d}{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}\right]

    हम कोष्ठक में प्रतिस्थापित करते हैं और अचर पदों को एक ही भिन्न में एकत्र करते हैं, क्योंकि ca=4ac4a2\frac{c}{a} = \frac{4ac}{4a^2}।

  4. ax2+bx+c=0↔(x+b2a)2=b2−4ac4a2ax^2 + bx + c = 0 \leftrightarrow \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

    चूँकि a≠0a \neq 0, बहुपद ठीक तब शून्य होता है जब बड़ा कोष्ठक शून्य होता है।

  5. (x+b2a)2−(b2−4ac2a)2=0↔x+b2a=±b2−4ac2a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \resaltar{\left(\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)^2} = 0 \leftrightarrow x + \frac{b}{2a} = \resaltar{\pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}

    यदि b2−4ac≥0b^2 - 4ac \geq 0, तो संख्या w=b2−4ac2aw = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} संबंध w2=b2−4ac4a2w^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} को संतुष्ट करती है, चाहे aa का चिह्न कुछ भी हो। uu से x+b2ax + \frac{b}{2a} को निरूपित करें, तो वर्गों के अंतर से समीकरण (u−w)(u+w)=0(u - w)(u + w) = 0 बन जाता है; और वास्तविक संख्याओं का गुणनफल तभी शून्य होता है जब कोई गुणनखंड शून्य हो, यह बीजीय फलनों पर पाठ की गुणनफल के चिह्न वाली प्रमेयिका से आता है। अतः समीकरण ठीक-ठीक u=wu = w या u=−wu = -w के तुल्य है: न कोई मूल खोता है और न कोई जुड़ता है।

  6. x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

    हम xx को अलग करते हैं: यही द्विघात सूत्र है।