تحليل كثير الحدود التربيعي وثلاثي الحدود من الدرجة 2n

ملخص

يستنتج هذا الدرس، بإكمال المربع، صيغة جذور كثيرة الحدود من الدرجة الثانية، ويدرس المميز وعلاقات فييت بين الجذور والمعاملات، ويصل إلى التحليل $a(x - x_1)(x - x_2)$ . ثم يوسّع الطريقة لتشمل ثلاثيات الحدود من الدرجة $2n$ ، التي على الشكل $a x^{2n} + b x^n + c$ ، بواسطة تغيير المتغير $u = x^n$ ، ويبيّن أن ثلاثية حدود من الدرجة $4$ يمكن تحليلها حتى لو كان المميز سالبًا.

أهداف التعلم

استنتاج صيغة حل المعادلة التربيعية بإكمال المربع وتطبيقها في التحليل إلى عوامل.
تفسير المميز واستعمال علاقات فييت بين الجذور والمعاملات.
تحليل ثلاثيات الحدود من الدرجة $2n$ بواسطة تغيير المتغير $u = x^n$ والمتطابقات الشهيرة.
التعرّف على الحالات التي تكون فيها كثيرة الحدود من الدرجة الثانية غير قابلة للتحليل في مجموعة الأعداد الحقيقية، وتحليل ثلاثية حدود من الدرجة $4$ مميزها سالب.
صياغة مسائل تطبيقية تؤدي إلى معادلة تربيعية، مثل طيران كرة أو تصميم بستان، وتفسير جذورها ومميزها في سياق المسألة.

كثيرة الحدود من الدرجة الثانية

كثيرة الحدود من الدرجة الثانية هي كثيرة حدود من الدرجة $2$ ؛ وإذا كانت معاملاتها حقيقية $a$ و $b$ و $c$ ، مع $a \neq 0$ ، فإنها تُكتب هكذا:

P(x) = ax^2 + bx + c

تحليلها هو كتابتها في صورة جداء كثيرتي حدود من الدرجة $1$ . وبحسب مبرهنة العامل، المدروسة في الدرس الخاص بـجبر كثيرات الحدود، يعطي كل جذر حقيقي $r$ عاملًا $x - r$ ؛ ومن ثمّ فإن تحليل كثيرة حدود من الدرجة الثانية يكافئ إيجاد جذورها. وطريقة إيجادها هي إكمال المربع.

مبرهنةصيغة حل المعادلة التربيعية

لتكن $ax^2 + bx + c$ كثيرة حدود من الدرجة الثانية، مع $a \neq 0$ . لكل عدد حقيقي $x$ تتحقق المساواة الآتية، التي تُسمّى الشكل بعد إتمام المربع؛ وإذا كان $b^2 - 4ac \geq 0$ ، فإن جذور كثيرة الحدود هي بالضبط الأعداد $\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ .

ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right]

الفكرة هندسية: $x^2 + \frac{b}{a}x$ هو مساحة مربع طول ضلعه $x$ مضافًا إليها مستطيل بُعداه $x$ و $\frac{b}{a}$ . إذا قُسم المستطيل إلى نصفين ووُضع كل منهما على ضلع من ضلعين للمربع، فلا ينقص لإتمام مربع أكبر، طول ضلعه $x + \frac{b}{2a}$ ، إلا زاوية واحدة.

البرهان

$ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \dato{s}{\frac{b}{a}x} + \frac{c}{a}\right)$
بما أن $a \neq 0$ ، نُخرج $a$ عاملًا مشتركًا.
$x^2 + \resaltar{\frac{b}{a}x} = \dato{c}{\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2} - \resaltar{\frac{b^2}{4a^2}}$
مربع $x + \frac{b}{2a}$ يحتوي على $x^2$ وعلى الحد $\frac{b}{a}x$ وعلى الزاوية $\frac{b^2}{4a^2}$ ؛ وبطرح الزاوية نحصل على المجموع المطلوب.
$ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \dato{d}{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}\right]$
نعوّض داخل القوسين ونجمع الحدود الثابتة في كسر واحد، لأن $\frac{c}{a} = \frac{4ac}{4a^2}$ .
$ax^2 + bx + c = 0 \leftrightarrow \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
بما أن $a \neq 0$ ، فإن كثيرة الحدود تنعدم بالضبط عندما ينعدم ما بين المعقوفين.
$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \resaltar{\left(\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)^2} = 0 \leftrightarrow x + \frac{b}{2a} = \resaltar{\pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}$
إذا كان $b^2 - 4ac \geq 0$ ، فإن العدد $w = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ يحقق $w^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ ، أيًّا كانت إشارة $a$ . وإذا رمزنا بـ $u$ إلى $x + \frac{b}{2a}$ ، فبحسب فرق مربعين تصبح المعادلة $(u - w)(u + w) = 0$ ؛ وجداء أعداد حقيقية يساوي صفرًا فقط إذا انعدم أحد عوامله، بحسب التوطئة لإشارة الجداء من الدرس الخاص بـالدوال الجبرية. ومن ثمّ فالمعادلة تكافئ بالضبط $u = w$ أو $u = -w$ : لا يضيع أي جذر ولا يُضاف أي جذر.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
نعزل $x$ : وهذه هي صيغة حل المعادلة التربيعية.

في بقية هذا الدرس

المميز
التحليل وعلاقات فييت
ثلاثيات الحدود من الدرجة 2n
مسائل محلولة
اللحظة التي تلمس فيها كرة الأرض
مجموع مربعي الجذرين
ثلاثية حدود مضاعفة التربيع
ثلاثية حدود من الدرجة 6
حين لا تنفع الصيغة
مسائل مقترحة
أكبر بستان بسياج معلوم
معاملات فردية
جذور صحيحة مع وسيط
مربع يُكمَل مرتين
كثيرة حدود مضاعفة التربيع ذات وسيط