انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

جذور كثيرات الحدود من الدرجات العليا والقسمة التركيبية

ملخص

يدرس هذا الدرس جذور كثيرات الحدود التي تزيد درجتها على اثنين. ويستنتج من خوارزمية القسمة القسمةَ التركيبية، أو قاعدة روفيني، التي تقسم كثيرة الحدود على x−rx - r بعمليات ضرب وجمع فقط وتعطي في الوقت نفسه القيمة P(r)P(r)، ويربطها بقاعدة هورنر. ويبرهن مبرهنة الجذور النسبية، التي تختزل البحث عن الجذور النسبية لكثيرة حدود ذات معاملات صحيحة في قائمة منتهية من المرشحين، ويطبقها على التحليل الكامل لكثيرات الحدود من الدرجتين 33 و44، مع رتبة الجذور والقسمة التركيبية المكررة. ويبرهن حدّين للجذور الحقيقية، حد كوشي والحد الذي تعطيه القسمة التركيبية نفسها؛ ويصوغ المبرهنة الأساسية في الجبر ويستنتج منها أن كل كثيرة حدود حقيقية هي جداء عوامل خطية وعوامل تربيعية غير قابلة للتحليل؛ ويستخرج علاقات فييت لكثيرة الحدود من الدرجة الثالثة.

أهداف التعلم

  1. أن تقسم كثيرة حدود على x−rx - r بالقسمة التركيبية وأن تعلّل أن المخطط يعطي معاملات خارج القسمة والباقي P(r)P(r).
  2. أن تجد الجذور النسبية لكثيرة حدود ذات معاملات صحيحة بمبرهنة الجذور النسبية، وأن تستعملها لإثبات أن أعدادًا معينة غير نسبية.
  3. أن تحلل تحليلًا كاملًا كثيرات الحدود من الدرجتين 33 و44، محددًا رتبة كل جذر وحاصرًا مسبقًا الفترة التي تحوي الجذور الحقيقية.
  4. أن تربط بين جذور كثيرة حدود من الدرجة الثالثة ومعاملاتها بعلاقات فييت، وأن تصف تحليل كثيرة الحدود الحقيقية الذي تضمنه المبرهنة الأساسية في الجبر.
  5. أن تصوغ مسائل تطبيقية تؤدي إلى معادلة حدودية من الدرجة 33 أو 44، مثل خط الطفو لعوّامة، وأن تختار من بين جذورها ما له معنى في السياق.

القسمة التركيبية

برهن الدرس الخاص بـجبر كثيرات الحدود خوارزمية القسمة: إذا أُعطيت كثيرتا حدود PP وQQ، حيث QQ غير منعدمة، فإنه يوجد خارج قسمة وباقٍ وحيدان. وعندما يكون القاسم x−rx - r، يكون الباقي ثابتًا، قيمته بمبرهنة الباقي P(r)P(r)؛ وبمبرهنة العامل، يكون rr جذرًا لـPP تمامًا عندما ينعدم هذا الباقي. فالبحث عن جذور كثيرة حدود من درجة عليا يقتضي إذن القسمة مرات كثيرة على قواسم من هذا الشكل. والقسمة التركيبية، المسماة أيضًا قاعدة روفيني، تختزل كل قسمة من هذه القسمات في تتابع من عمليات الضرب والجمع على المعاملات، دون كتابة المتغير.

والمخطط كما يأتي. تُكتب في صف معاملات PP، من القوة العليا إلى الحد الثابت، بما فيها المعاملات المنعدمة، وعلى اليسار العدد rr. يُنزَل المعامل الأول؛ ثم، مرة بعد مرة، يُضرب في rr آخر عدد حُصل عليه، ويُكتب الجداء تحت المعامل الذي يليه ويُجمع العددان. وأعداد الصف الأخير، ما عدا آخرها، هي معاملات خارج القسمة؛ وآخرها هو الباقي.

مثالقسمة تركيبية

اقسم P(x)=2x4−5x3+7x−3P(x) = 2x^4 - 5x^3 + 7x - 3 على x−2x - 2. ليس لكثيرة الحدود حدّ في x2x^2، ولذلك يجب أن يُكتب معامله، 00، في الصف: فإغفاله يزيح جميع المعاملات الأخرى. نسمي b3b_3 وb2b_2 وb1b_1 وb0b_0 معاملات خارج القسمة، وRR الباقي.

البرهان

  1. 2x4−5x3+0x2+7x−3→2,−5,0,7,−32x^4 - 5x^3 + \resaltar{0x^2} + 7x - 3 \rightarrow \resaltar{2, -5, 0, 7, -3}

    نكتب المعاملات، من القوة العليا إلى الدنيا، بما فيها 00 الخاص بـx2x^2، وعلى اليسار العدد r=2r = 2.

  2. b3=2b_3 = \dato{b3}{\resaltar{2}}

    ننزل المعامل الأول: إنه المعامل الرئيسي لخارج القسمة.

  3. b2=−5+2⋅2=−1b_2 = -5 + \resaltar{2 \cdot 2} = \dato{b2}{\resaltar{-1}}

    نضرب في 22 العدد الذي حصلنا عليه ونجمع الجداء مع المعامل الذي يليه.

  4. b1=0+2⋅(−1)=−2b_1 = 0 + \resaltar{2 \cdot (-1)} = \dato{b1}{\resaltar{-2}}

    نكرر العملية مع العدد الذي حصلنا عليه للتو.

  5. b0=7+2⋅(−2)=3b_0 = 7 + \resaltar{2 \cdot (-2)} = \dato{b0}{\resaltar{3}}

    مرة أخرى.

  6. R=−3+2⋅3=3R = -3 + \resaltar{2 \cdot 3} = \dato{R}{\resaltar{3}}

    الجمع الأخير يعطي الباقي.

  7. 2x4−5x3+7x−3=(x−2)(2x3−x2−2x+3)+32x^4 - 5x^3 + 7x - 3 = (x - 2)\left( \resaltar{2x^3 - x^2 - 2x + 3} \right) + \resaltar{3}

    درجة خارج القسمة 33، أي أقل بواحد من درجة المقسوم، ومعاملاته هي أعداد الصف الأخير؛ والباقي 33، وهو يساوي P(2)=32−40+14−3P(2) = 32 - 40 + 14 - 3، كما تقتضي مبرهنة الباقي.

ليس نجاح المخطط مصادفة خاصة بالمثال؛ فالمبرهنة الآتية تبرهنه في الحالة العامة، بمقارنة المعاملات في متساوية القسمة.

مبرهنةالقسمة التركيبية

لتكن P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 كثيرة حدود من الدرجة n≥1n \geq 1 وليكن rr عددًا حقيقيًا. إذا عُرّف bn−1=anb_{n - 1} = a_n، ثم bk−1=ak+rbkb_{k - 1} = a_k + r b_k من أجل kk من n−1n - 1 إلى 11، وأخيرًا R=a0+rb0R = a_0 + r b_0، فإن خارج قسمة PP على x−rx - r هو bn−1xn−1+⋯+b1x+b0b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_1 x + b_0، والباقي هو R=P(r)R = P(r).

يقارن البرهان معاملات طرفي متساوية القسمة؛ ويتتبع الرسم الحالة n=3n = 3.

البرهان

  1. P(x)=(x−r)(bn−1xn−1+⋯+b1x+b0)+R\dato{d}{P(x) = (x - r)\left( b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_1 x + b_0 \right) + R}

    بخوارزمية القسمة، يوجد خارج قسمة CC وباقٍ RR وحيدان. ولما كانت درجة القاسم 11، فإن الباقي ثابت، وبقاعدة درجة الجداء تكون درجة خارج القسمة n−1n - 1؛ ونسمي bkb_k معاملاته.

  2. (x−r)(bn−1xn−1+⋯+b0)=bn−1xn+(bn−2−rbn−1)xn−1+⋯+(b0−rb1)x−rb0(x - r)\left( b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_0 \right) = \resaltar{b_{n - 1}} x^n + \resaltar{\left( b_{n - 2} - r b_{n - 1} \right)} x^{n - 1} + \cdots + \resaltar{\left( b_0 - r b_1 \right)} x \resaltar{- r b_0}

    ننشر الجداء: كل معامل bkb_k يظهر مرتين، مضروبًا في xx في الحد من الدرجة k+1k + 1 ومضروبًا في −r-r في الحد من الدرجة kk.

  3. an=bn−1,ak=bk−1−rbk,a0=R−rb0\dato{c}{a_n = b_{n - 1}, \quad a_k = b_{k - 1} - r b_k, \quad a_0 = R - r b_0}

    بمبدأ تطابق كثيرات الحدود، تتساوى معاملات كل قوة في طرفي متساوية القسمة؛ والمتساوية الوسطى صحيحة من أجل kk من 11 إلى n−1n - 1.

  4. bn−1=an,bk−1=ak+rbk,R=a0+rb0b_{n - 1} = a_n, \quad \resaltar{b_{k - 1} = a_k + r b_k}, \quad \resaltar{R = a_0 + r b_0}

    نستخرج المجاهيل: المعامل الأول يُنزَل، وكل عدد من الأعداد اللاحقة، مثل الباقي، يساوي معامل PP زائد rr مرة العدد السابق. وعكسيًا، الأعداد المعرّفة على هذا النحو تحقق المتساويات السابقة، فهي تعطي قسمةً لـPP على x−rx - r؛ وبوحدانية خارج القسمة والباقي، هي بالضبط أعداد القسمة.

  5. P(r)=(r−r)C(r)+R=RP(r) = \resaltar{(r - r)} C(r) + R = \resaltar{R}

    عند حساب قيمة متساوية القسمة عند x=rx = r، ينعدم الحد الأول من المجموع: آخر عدد في الجدول هو P(r)P(r).

القسمة التركيبية وقاعدة هورنر

قاعدة هورنر، التي بُرهنت في الدرس الخاص بـأنظمة العدّ الموضعية، تحسب قيمة مجموع قوى انطلاقًا من المعامل الرئيسي وبتكرار عملية الضرب في الأساس وجمع المعامل الذي يليه. وهذا بالضبط ما يفعله الصف الأخير من القسمة التركيبية مع الأساس rr: فالأعداد bn−1,bn−2,…,b0b_{n - 1}, b_{n - 2}, \ldots, b_0 هي النتائج الجزئية لقاعدة هورنر مطبقة عند x=rx = r، والعملية الأخيرة تعطي قيمة كثيرة الحدود.

R=(⋯((anr+an−1)r+an−2)⋯ )r+a0=P(r)R = \left( \cdots \left( \left( a_n r + a_{n - 1} \right) r + a_{n - 2} \right) \cdots \right) r + a_0 = P(r)

ومن ذلك يلزم أن قاعدة هورنر تقدم برهانًا ثانيًا لمبرهنة الباقي، وأن القسمة التركيبية هي في آن واحد أوفر طريقة لحساب قيمة كثيرة حدود ولقسمتها: فحساب القيمة عند rr يكلف nn من عمليات الضرب وnn من عمليات الجمع، والحساب نفسه يترك خارج القسمة مكتوبًا. وبمبرهنة العامل، يكون rr جذرًا تمامًا عندما يكون آخر عدد في الجدول 00.

للقسمة على قاسم خطي ax−bax - b، حيث a≠0a \neq 0، يكفي أن نلاحظ أن ax−b=a(x−ba)ax - b = a\left( x - \frac{b}{a} \right): نقسم على x−bax - \frac{b}{a} بالقسمة التركيبية، ثم نقسم خارج القسمة الناتج على aa؛ ولا يتغير الباقي.

P(x)=(x−ba)C(x)+R=(ax−b)⋅C(x)a+RP(x) = \left( x - \frac{b}{a} \right) C(x) + R = (ax - b) \cdot \frac{C(x)}{a} + R