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Topos Uranos
Français

Racines des polynômes de degré supérieur et division synthétique

Résumé

Cette leçon étudie les racines des polynômes de degré strictement supérieur à deux. Elle déduit de la division euclidienne des polynômes la division synthétique, ou règle de Ruffini, qui divise un polynôme par x−rx - r à l’aide de multiplications et d’additions seulement et fournit en même temps la valeur P(r)P(r), et elle la relie au schéma de Horner. Elle démontre le théorème des racines rationnelles, qui ramène la recherche des racines rationnelles d’un polynôme à coefficients entiers à une liste finie de candidats, et l’applique à la factorisation complète de polynômes de degrés 33 et 44, avec la multiplicité des racines et la division synthétique répétée. Elle établit deux bornes pour les racines réelles, celle de Cauchy et celle que donne la division synthétique elle-même ; elle énonce le théorème fondamental de l’algèbre et en déduit que tout polynôme réel est un produit de facteurs du premier degré et de facteurs du second degré irréductibles ; et elle obtient les relations de Viète de la cubique.

Objectifs d’apprentissage

  1. Diviser un polynôme par x−rx - r au moyen de la division synthétique et justifier que le schéma donne les coefficients du quotient et le reste P(r)P(r).
  2. Trouver les racines rationnelles d’un polynôme à coefficients entiers avec le théorème des racines rationnelles, et s’en servir pour démontrer que certains nombres sont irrationnels.
  3. Factoriser complètement des polynômes de degrés 33 et 44, en déterminant la multiplicité de chaque racine et en bornant à l’avance l’intervalle qui contient les racines réelles.
  4. Relier les racines et les coefficients d’une cubique au moyen des relations de Viète, et décrire la factorisation d’un polynôme réel qu’assure le théorème fondamental de l’algèbre.
  5. Mettre en équation des problèmes appliqués qui conduisent à une équation polynomiale de degré 33 ou 44, comme la ligne de flottaison d’une bouée, et choisir parmi ses racines celles qui ont un sens dans le contexte.

La division synthétique

La leçon sur l’algèbre des polynômes a démontré la division euclidienne des polynômes : étant donnés deux polynômes PP et QQ, avec QQ non nul, il existe un quotient et un reste uniques. Lorsque le diviseur est x−rx - r, le reste est une constante qui, d’après le théorème du reste, vaut P(r)P(r) ; et d’après le théorème du facteur, rr est une racine de PP exactement lorsque ce reste est nul. Chercher les racines d’un polynôme de degré supérieur oblige donc à diviser de nombreuses fois par des diviseurs de cette forme. La division synthétique, appelée aussi règle de Ruffini, réduit chacune de ces divisions à une succession de multiplications et d’additions sur les coefficients, sans écrire la variable.

Le schéma est le suivant. On écrit sur une ligne les coefficients de PP, de la plus haute puissance jusqu’au terme constant, y compris les coefficients nuls, et à gauche le nombre rr. On abaisse le premier coefficient ; puis, encore et encore, on multiplie par rr le dernier nombre obtenu, on écrit le produit sous le coefficient suivant et on additionne les deux. Les nombres de la dernière ligne, sauf le dernier, sont les coefficients du quotient ; le dernier est le reste.

ExempleUne division synthétique

Diviser P(x)=2x4−5x3+7x−3P(x) = 2x^4 - 5x^3 + 7x - 3 par x−2x - 2. Le polynôme n’a pas de terme en x2x^2, de sorte que son coefficient, 00, doit être écrit dans la ligne : l’omettre décalerait tous les autres. Nous appelons b3b_3, b2b_2, b1b_1 et b0b_0 les coefficients du quotient, et RR le reste.

Démonstration

  1. 2x4−5x3+0x2+7x−3→2,−5,0,7,−32x^4 - 5x^3 + \resaltar{0x^2} + 7x - 3 \rightarrow \resaltar{2, -5, 0, 7, -3}

    Nous écrivons les coefficients, de la plus haute puissance à la plus basse, y compris le 00 de x2x^2, et à gauche le nombre r=2r = 2.

  2. b3=2b_3 = \dato{b3}{\resaltar{2}}

    Nous abaissons le premier coefficient : c’est le coefficient dominant du quotient.

  3. b2=−5+2⋅2=−1b_2 = -5 + \resaltar{2 \cdot 2} = \dato{b2}{\resaltar{-1}}

    Nous multiplions par 22 le nombre obtenu et ajoutons le produit au coefficient suivant.

  4. b1=0+2⋅(−1)=−2b_1 = 0 + \resaltar{2 \cdot (-1)} = \dato{b1}{\resaltar{-2}}

    Nous répétons l’opération avec le nombre qui vient d’être obtenu.

  5. b0=7+2⋅(−2)=3b_0 = 7 + \resaltar{2 \cdot (-2)} = \dato{b0}{\resaltar{3}}

    Encore une fois.

  6. R=−3+2⋅3=3R = -3 + \resaltar{2 \cdot 3} = \dato{R}{\resaltar{3}}

    La dernière addition donne le reste.

  7. 2x4−5x3+7x−3=(x−2)(2x3−x2−2x+3)+32x^4 - 5x^3 + 7x - 3 = (x - 2)\left( \resaltar{2x^3 - x^2 - 2x + 3} \right) + \resaltar{3}

    Le quotient est de degré 33, un de moins que le dividende, et ses coefficients sont ceux de la dernière ligne ; le reste est 33, qui coïncide avec P(2)=32−40+14−3P(2) = 32 - 40 + 14 - 3, comme l’exige le théorème du reste.

Que le schéma fonctionne n’est pas un hasard de l’exemple ; le théorème suivant le démontre en général, en comparant les coefficients dans l’égalité de la division.

ThéorèmeDivision synthétique

Soient P(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 un polynôme de degré n≥1n \geq 1 et rr un nombre réel. Si l’on pose bn−1=anb_{n - 1} = a_n, puis bk−1=ak+rbkb_{k - 1} = a_k + r b_k pour kk allant de n−1n - 1 à 11, et enfin R=a0+rb0R = a_0 + r b_0, alors le quotient de la division de PP par x−rx - r est bn−1xn−1+⋯+b1x+b0b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_1 x + b_0, et le reste est R=P(r)R = P(r).

La démonstration compare les coefficients des deux membres de l’égalité de la division ; la figure suit le cas n=3n = 3.

Démonstration

  1. P(x)=(x−r)(bn−1xn−1+⋯+b1x+b0)+R\dato{d}{P(x) = (x - r)\left( b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_1 x + b_0 \right) + R}

    D’après la division euclidienne des polynômes, il existe un quotient CC et un reste RR uniques. Comme le diviseur est de degré 11, le reste est une constante et, d’après la règle du degré du produit, le quotient est de degré n−1n - 1 ; nous appelons bkb_k ses coefficients.

  2. (x−r)(bn−1xn−1+⋯+b0)=bn−1xn+(bn−2−rbn−1)xn−1+⋯+(b0−rb1)x−rb0(x - r)\left( b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_0 \right) = \resaltar{b_{n - 1}} x^n + \resaltar{\left( b_{n - 2} - r b_{n - 1} \right)} x^{n - 1} + \cdots + \resaltar{\left( b_0 - r b_1 \right)} x \resaltar{- r b_0}

    Nous développons le produit : chaque coefficient bkb_k apparaît deux fois, multiplié par xx dans le terme de degré k+1k + 1 et multiplié par −r-r dans celui de degré kk.

  3. an=bn−1,ak=bk−1−rbk,a0=R−rb0\dato{c}{a_n = b_{n - 1}, \quad a_k = b_{k - 1} - r b_k, \quad a_0 = R - r b_0}

    D’après le principe d’identification, les coefficients de chaque puissance coïncident dans les deux membres de l’égalité de la division ; l’égalité centrale vaut pour kk allant de 11 à n−1n - 1.

  4. bn−1=an,bk−1=ak+rbk,R=a0+rb0b_{n - 1} = a_n, \quad \resaltar{b_{k - 1} = a_k + r b_k}, \quad \resaltar{R = a_0 + r b_0}

    Nous isolons les inconnues : le premier coefficient s’abaisse, et chacun des suivants, comme le reste, est le coefficient de PP plus rr fois le nombre précédent. Dans l’autre sens, les nombres ainsi définis vérifient les égalités précédentes, de sorte qu’ils donnent une division de PP par x−rx - r ; par l’unicité du quotient et du reste, ce sont exactement ceux de la division.

  5. P(r)=(r−r)C(r)+R=RP(r) = \resaltar{(r - r)} C(r) + R = \resaltar{R}

    En évaluant l’égalité de la division en x=rx = r, le premier terme s’annule : le dernier nombre du tableau est P(r)P(r).

La division synthétique et le schéma de Horner

Le schéma de Horner, démontré dans la leçon sur les systèmes de numération de position, calcule la valeur d’une somme de puissances en partant du coefficient dominant et en répétant l’opération qui consiste à multiplier par la base et à ajouter le coefficient suivant. C’est exactement ce que fait la dernière ligne de la division synthétique avec la base rr : les nombres bn−1,bn−2,…,b0b_{n - 1}, b_{n - 2}, \ldots, b_0 sont les résultats partiels du schéma de Horner appliqué en x=rx = r, et la dernière opération donne la valeur du polynôme.

R=(⋯((anr+an−1)r+an−2)⋯ )r+a0=P(r)R = \left( \cdots \left( \left( a_n r + a_{n - 1} \right) r + a_{n - 2} \right) \cdots \right) r + a_0 = P(r)

Il s’ensuit que le schéma de Horner offre une seconde démonstration du théorème du reste, et que la division synthétique est à la fois la manière la plus économique d’évaluer un polynôme et de le diviser : évaluer en rr coûte nn multiplications et nn additions, et le même calcul laisse écrit le quotient. D’après le théorème du facteur, rr est racine exactement lorsque le dernier nombre du tableau est 00.

Pour diviser par un diviseur du premier degré ax−bax - b, avec a≠0a \neq 0, il suffit d’observer que ax−b=a(x−ba)ax - b = a\left( x - \frac{b}{a} \right) : on divise par x−bax - \frac{b}{a} avec la division synthétique, et l’on divise par aa le quotient obtenu ; le reste ne change pas.

P(x)=(x−ba)C(x)+R=(ax−b)⋅C(x)a+RP(x) = \left( x - \frac{b}{a} \right) C(x) + R = (ax - b) \cdot \frac{C(x)}{a} + R