高次多項式の根と組立除法

証明

1. 1
   $$\dato{d}{P(x) = (x - r)\left( b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_1 x + b_0 \right) + R}$$

   除法の原理により、商 $C$ と余り $R$ がただ一つずつ存在する。割る式の次数は $1$ なので、余りは定数であり、積の次数の規則により商の次数は $n - 1$ である。その係数を $b_k$ とする。

2. 2
   $$(x - r)\left( b_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + b_0 \right) = \resaltar{b_{n - 1}} x^n + \resaltar{\left( b_{n - 2} - r b_{n - 1} \right)} x^{n - 1} + \cdots + \resaltar{\left( b_0 - r b_1 \right)} x \resaltar{- r b_0}$$

   積を展開する：各係数 $b_k$ は二回現れ、一回は $x$ を掛けられて次数 $k + 1$ の項に、もう一回は $-r$ を掛けられて次数 $k$ の項に現れる。

3. 3
   $$\dato{c}{a_n = b_{n - 1}, \quad a_k = b_{k - 1} - r b_k, \quad a_0 = R - r b_0}$$

   恒等式の性質により、割り算の等式の両辺で各累乗の係数は一致する。真ん中の等式は $k$ が $1$ から $n - 1$ までのときに成り立つ。

4. 4
   $$b_{n - 1} = a_n, \quad \resaltar{b_{k - 1} = a_k + r b_k}, \quad \resaltar{R = a_0 + r b_0}$$

   解く：最初の係数は下ろされ、それに続く各数は、余りと同じく、$P$ の係数に $r$ と直前の数の積を加えたものである。逆に、このように定めた数は上の等式を満たすので、$P$ を $x - r$ で割る一つの割り算を与える。商と余りの一意性により、それらはちょうどこの割り算の数である。

5. 5
   $$P(r) = \resaltar{(r - r)} C(r) + R = \resaltar{R}$$

   割り算の等式に $x = r$ を代入すると、第一の項は零になる：表の最後の数は $P(r)$ である。