جبر كثيرات الحدود ذات المعاملات الحقيقية

كثيرات الحدود

كثيرة الحدود ذات المعاملات الحقيقية في المتغير $x$ هي عبارة من الشكل الآتي، حيث $n$ عدد طبيعي أو صفر، والمعاملات $a_0, a_1, \ldots, a_n$ أعداد حقيقية:

كل جزء من أجزاء المجموع $a_i x^i$ يسمى حدًّا، و$a_0$ هو الحد الثابت. وكل كثيرة حدود تعرّف دالة: هي التي تقرن بكل عدد حقيقي $x$ العدد $P(x)$ الناتج عن تعويض المتغير بـ$x$ في العبارة. والدوال التي نحصل عليها بهذه الطريقة، وتسمى دوال كثيرات الحدود، هي أبسط الدوال الجبرية، التي عُرضت في الدرس الخاص بـالدوال الجبرية.

تكون كثيرتا حدود متساويتين إذا كانت لهما المعاملات نفسها، قوةً قوةً، بعد أن تُكمَل بمعاملات منعدمة القوى الناقصة في إحداهما؛ وهكذا فإن $1 + 0x + 3x^2$ و$1 + 3x^2$ كثيرة حدود واحدة. وكثيرة الحدود التي معاملاتها كلها أصفار تسمى كثيرة الحدود المنعدمة.

درجة كثيرة حدود غير منعدمة هي أكبر أسّ معامله مختلف عن الصفر؛ ويسمى هذا المعامل المعامل الرئيسي. وهكذا فإن $P(x) = 3 - x + 5x^4$ درجتها $4$ ومعاملها الرئيسي $5$، ونكتب $\deg(P) = 4$. وكثيرة الحدود المنعدمة ليست لها درجة، لأنه ليس لها أي معامل مختلف عن الصفر. ولما كانت الدرجة والمعامل الرئيسي يُقرآن في المعاملات، وكانت لكثيرتي الحدود المتساويتين المعاملات نفسها، فإن كليهما معرَّف تعريفًا جيدًا.

غير أن كثيرة الحدود تُستعمل في الغالب عبر الدالة التي تعرّفها، ومن حقنا أن نسأل هل يمكن لكثيرتي حدود مختلفتين أن تعرّفا الدالة نفسها؛ فلو كان الأمر كذلك لما كانت درجة دالة كثيرة الحدود معرَّفة تعريفًا جيدًا. ومبدأ تطابق كثيرات الحدود، الذي يُبرهَن في الفقرة الخاصة بعدد الجذور، يجيب بالنفي: تعرّف كثيرتا حدود الدالة نفسها إذا وفقط إذا كانتا متساويتين. وإلى ذلك الحين، كل ما يقال عن كثيرات الحدود، وعن درجتها بوجه خاص، يتعلق بمعاملاتها، بحيث لا يتوقف عليه أي برهان سابق لهذا المبدأ. وبعد ذلك، يمكن مطابقة كل كثيرة حدود مع دالتها، وتصبح مقارنة المعاملات في مساواة بين دوال كثيرات حدود مبرَّرة، كما في المسألة المحلولة 5.

التصنيف

تصنَّف كثيرات الحدود، أولًا، بحسب درجتها:

1. الثابتة: ذات الدرجة $0$، من الشكل $P(x) = c$ مع $c \neq 0$، ومعها كثيرة الحدود المنعدمة.
2. الخطية، من الدرجة $1$: $P(x) = a_0 + a_1 x$، مع $a_1 \neq 0$.
3. التربيعية، من الدرجة $2$، والتكعيبية، من الدرجة $3$؛ وتسمى ذوات الدرجات الأعلى بعدد درجتها: من الدرجة $4$، ومن الدرجة $5$، وهكذا دواليك.

وبحسب عدد حدودها غير المنعدمة، تسمى كثيرة الحدود حدًّا إذا كان لها حد واحد، وثنائية حد إذا كان لها حدان، وثلاثية حدود إذا كانت لها ثلاثة حدود.