Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Алгебра многочленов с действительными коэффициентами

Краткое содержание

В этом уроке изучаются многочлены с действительными коэффициентами: их определение через коэффициенты, их степень и равенство многочленов; операции сложения, вычитания и умножения, с правилом, дающим степень произведения, и их согласованность с числовыми значениями; деление многочленов с остатком, с теоремой Безу (об остатке) и теоремой о множителе; число корней и принцип равенства многочленов, который позволяет отождествить каждый многочлен с функцией, которую он задаёт, и доказывает, например, что квадратный корень не является рациональной функцией; наконец, разложение на множители и формулы сокращённого умножения. Кроме того, показывается, что многочлен может раскладываться на множители, даже если у него нет действительных корней.

Цели обучения

  1. Определять степень, коэффициенты и старший коэффициент многочлена и распознавать, когда два многочлена равны.
  2. Складывать, вычитать и умножать многочлены и предсказывать степень результата.
  3. Делить многочлены с остатком и применять теорему Безу и теорему о множителе.
  4. Доказывать, что ненулевой многочлен степени nn имеет не более nn корней, и использовать принцип равенства многочленов для сравнения коэффициентов.
  5. Раскладывать многочлены на множители с помощью их корней и формул сокращённого умножения.
  6. Формулировать с помощью многочленов прикладные задачи, такие как объём коробки или накопления со сложными процентами, и решать их с помощью теоремы Безу и теоремы о множителе.

Многочлены

Многочленом с действительными коэффициентами от переменной xx называется выражение следующего вида, где nn есть натуральное число или нуль, а коэффициенты a0,a1,…,ana_0, a_1, \ldots, a_n суть действительные числа:

P(x)=∑i=0naixi=a0+a1x+a2x2+⋯+anxnP(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_i x^i = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n

Каждое слагаемое aixia_i x^i называется членом, а a0a_0 есть свободный член. Каждый многочлен задаёт функцию: ту, что сопоставляет каждому действительному xx число P(x)P(x), получающееся подстановкой в выражение вместо переменной значения xx. Получаемые так функции, называемые полиномиальными, являются простейшими алгебраическими функциями, представленными в уроке об алгебраических функциях.

Два многочлена равны, если у них одинаковые коэффициенты при каждой степени, после того как недостающие в одном из них степени дополнены нулевыми коэффициентами; так, 1+0x+3x21 + 0x + 3x^2 и 1+3x21 + 3x^2 есть один и тот же многочлен. Многочлен, все коэффициенты которого равны нулю, называется нулевым многочленом.

Степенью ненулевого многочлена называется наибольший показатель, коэффициент при котором отличен от нуля; этот коэффициент называется старшим коэффициентом. Так, P(x)=3−x+5x4P(x) = 3 - x + 5x^4 имеет степень 44 и старший коэффициент 55, и пишут deg⁡(P)=4\deg(P) = 4. Нулевой многочлен не имеет степени, потому что у него нет ни одного коэффициента, отличного от нуля. Поскольку степень и старший коэффициент определяются по коэффициентам, а у равных многочленов одинаковые коэффициенты, оба понятия определены корректно.

Однако многочлен почти всегда используется через задаваемую им функцию, и естественно спросить, не могут ли два различных многочлена задавать одну и ту же функцию; если бы это было так, степень полиномиальной функции не была бы определена корректно. Принцип равенства многочленов, который доказывается ниже, там, где речь идёт о числе корней, отвечает, что нет: два многочлена задают одну и ту же функцию тогда и только тогда, когда они равны. До того момента всё, что говорится о многочленах, и в частности об их степени, относится к их коэффициентам, так что ни одно доказательство, предшествующее этому принципу, от него не зависит. После этого каждый многочлен можно отождествить с его функцией, и сравнение коэффициентов в равенстве полиномиальных функций становится обоснованным, как в решённой задаче 5.

Классификация

Многочлены классифицируются прежде всего по степени:

  1. Постоянные: многочлены степени 00, вида P(x)=cP(x) = c при c≠0c \neq 0, а также нулевой многочлен.
  2. Линейные, степени 11: P(x)=a0+a1xP(x) = a_0 + a_1 x, где a1≠0a_1 \neq 0.
  3. Квадратные, степени 22, и кубические, степени 33; многочлены высших степеней называются по номеру степени: степени 44, степени 55 и т. д..

По числу ненулевых членов многочлен называется одночленом, если член один, двучленом, если их два, и трёхчленом, если их три.