Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Разложение квадратного трёхчлена и трёхчлена степени 2n

Краткое содержание

В этом уроке выделением полного квадрата выводится формула корней квадратного трёхчлена, изучаются дискриминант и формулы Виета, связывающие корни и коэффициенты и получается разложение a(x−x1)(x−x2)a(x - x_1)(x - x_2). Затем метод распространяется на трёхчлены степени 2n2n, имеющие вид ax2n+bxn+ca x^{2n} + b x^n + c, с помощью замены переменной u=xnu = x^n, и показывается, что трёхчлен степени 44 можно разложить на множители, даже если дискриминант отрицателен.

Цели обучения

  1. Выводить формулу корней квадратного уравнения выделением полного квадрата и применять её для разложения на множители.
  2. Истолковывать дискриминант и пользоваться формулами Виета, связывающими корни и коэффициенты.
  3. Раскладывать на множители трёхчлены степени 2n2n с помощью замены переменной u=xnu = x^n и формул сокращённого умножения.
  4. Распознавать, когда квадратный трёхчлен неприводим над полем действительных чисел, и раскладывать на множители трёхчлен степени 44 с отрицательным дискриминантом.
  5. Составлять прикладные задачи, приводящие к квадратному уравнению, такие как полёт мяча или планировка огорода, и истолковывать в их контексте корни и дискриминант этого уравнения.

Квадратный трёхчлен

Квадратным трёхчленом называется многочлен степени 22; с действительными коэффициентами aa, bb и cc, где a≠0a \neq 0, он записывается так:

P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c

Разложить его на множители значит записать его в виде произведения двух многочленов степени 11. По теореме о множителе, изученной в уроке об алгебре многочленов, каждый действительный корень rr даёт множитель x−rx - r; поэтому разложение квадратного трёхчлена на множители равносильно нахождению его корней. Метод их нахождения состоит в выделении полного квадрата.

ТеоремаФормула корней квадратного уравнения

Пусть ax2+bx+cax^2 + bx + c есть квадратный трёхчлен, где a≠0a \neq 0. Для всякого действительного xx выполняется приведённое ниже равенство, называемое выделенным полным квадратом; и если b2−4ac≥0b^2 - 4ac \geq 0, то корнями трёхчлена являются в точности числа −b±b2−4ac2a\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.

ax2+bx+c=a[(x+b2a)2−b2−4ac4a2]ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right]

Идея геометрическая: x2+baxx^2 + \frac{b}{a}x есть площадь квадрата со стороной xx плюс прямоугольник со сторонами xx и ba\frac{b}{a}. Если разрезать прямоугольник на две половины и приложить их к двум сторонам квадрата, то для получения большего квадрата со стороной x+b2ax + \frac{b}{2a} недостаёт лишь одного углового квадратика.

Доказательство

  1. ax2+bx+c=a(x2+bax+ca)ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \dato{s}{\frac{b}{a}x} + \frac{c}{a}\right)

    Так как a≠0a \neq 0, выносим aa за скобки.

  2. x2+bax=(x+b2a)2−b24a2x^2 + \resaltar{\frac{b}{a}x} = \dato{c}{\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2} - \resaltar{\frac{b^2}{4a^2}}

    Квадрат выражения x+b2ax + \frac{b}{2a} содержит x2x^2, член bax\frac{b}{a}x и угловой квадратик b24a2\frac{b^2}{4a^2}; вычитая угловой квадратик, получаем искомую сумму.

  3. ax2+bx+c=a[(x+b2a)2−b2−4ac4a2]ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \dato{d}{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}\right]

    Подставляем в скобку и собираем свободные члены в одну дробь, поскольку ca=4ac4a2\frac{c}{a} = \frac{4ac}{4a^2}.

  4. ax2+bx+c=0↔(x+b2a)2=b2−4ac4a2ax^2 + bx + c = 0 \leftrightarrow \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

    Так как a≠0a \neq 0, трёхчлен обращается в нуль в точности тогда, когда обращается в нуль выражение в квадратных скобках.

  5. (x+b2a)2−(b2−4ac2a)2=0↔x+b2a=±b2−4ac2a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \resaltar{\left(\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)^2} = 0 \leftrightarrow x + \frac{b}{2a} = \resaltar{\pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}

    Если b2−4ac≥0b^2 - 4ac \geq 0, то число w=b2−4ac2aw = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} удовлетворяет равенству w2=b2−4ac4a2w^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}, каков бы ни был знак aa. Обозначив через uu выражение x+b2ax + \frac{b}{2a}, по формуле разности квадратов получаем уравнение (u−w)(u+w)=0(u - w)(u + w) = 0; а произведение действительных чисел равно нулю, лишь если равен нулю какой-либо множитель, по лемме о знаке произведения из урока об алгебраических функциях. Отсюда уравнение равносильно в точности совокупности u=wu = w или u=−wu = -w: ни один корень не теряется и не добавляется.

  6. x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

    Выражаем xx: это формула корней квадратного уравнения.