Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Алгебраические функции действительного переменного

Краткое содержание

В этом уроке вводится понятие функции, её области определения и множества значений, и изучаются алгебраические функции одной действительной переменной: те, что получаются из переменной с помощью сумм, разностей, произведений, частных, степеней и корней. Урок учит находить область определения функции, заданной формулой, и вычислять множество значений в простых случаях, изучает графики степеней и корней и делит функции на алгебраические и трансцендентные, а алгебраические на полиномиальные, рациональные и иррациональные.

Цели обучения

  1. Формулировать определение функции и различать в каждом случае её область определения, кообласть и множество значений.
  2. Находить область определения алгебраической функции, заданной формулой.
  3. Вычислять множество значений простых алгебраических функций, выражая переменную.
  4. Строить графики степеней с натуральным показателем и корней, исходя из их монотонности и чётности.
  5. Относить функцию к полиномиальным, рациональным, иррациональным или трансцендентным.

Переменные и алгебраические выражения

Переменная есть символ, обозначающий место, куда можно записать число. Для действительных чисел традиционно используют буквы xx, yy и tt; буква zz обычно резервируется для комплексных чисел. Когда нужно много переменных, используют индексы: x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n.

Алгебраическим выражением называется выражение, составленное из переменных и действительных чисел с помощью конечного числа сумм, разностей, произведений, частных, степеней с целым показателем и корней. Например:

x3+5x+6x,2x+3x−13x^3 + 5x + \frac{6}{\sqrt{x}}, \qquad \frac{2x + 3}{\sqrt[3]{x - 1}}

Алгебраическое выражение не всегда имеет смысл при всех значениях переменной: первое из них, например, не имеет смысла, если xx отрицательно, потому что не существует квадратного корня, и если xx равно нулю, потому что пришлось бы делить на нуль. Точно указать, где оно имеет смысл, есть первая задача, которую ставит изучение функций.