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Topos Uranos
Français

Fonctions algébriques d’une variable réelle

Résumé

Cette leçon présente la notion de fonction, avec son ensemble de définition et son ensemble image, et étudie les fonctions algébriques d’une variable réelle : celles qui s’obtiennent à partir de la variable au moyen de sommes, de différences, de produits, de quotients, de puissances et de racines. Elle apprend à déterminer l’ensemble de définition d’une fonction donnée par une formule et à calculer l’ensemble image dans des cas simples, étudie les courbes représentatives des puissances et des racines, et classe les fonctions en algébriques et transcendantes, et les fonctions algébriques en fonctions polynômes, rationnelles et irrationnelles.

Objectifs d’apprentissage

  1. Énoncer la définition de fonction et distinguer, dans chaque cas, son ensemble de définition, son ensemble d’arrivée et son ensemble image.
  2. Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction algébrique donnée par une formule.
  3. Calculer l’ensemble image de fonctions algébriques simples en exprimant la variable à partir de l’équation.
  4. Tracer les courbes représentatives des puissances d’exposant naturel et des racines à partir de leur monotonie et de leur parité.
  5. Classer une fonction comme fonction polynôme, rationnelle, irrationnelle ou transcendante.

Variables et expressions algébriques

Une variable est un symbole qui représente une place où l’on peut écrire un nombre. Pour les nombres réels, on emploie traditionnellement les lettres xx, yy et tt ; la lettre zz est d’ordinaire réservée aux nombres complexes. Lorsqu’il faut beaucoup de variables, on utilise des indices : x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n.

Une expression algébrique est une expression formée à partir de variables et de nombres réels au moyen d’un nombre fini de sommes, de différences, de produits, de quotients, de puissances d’exposant entier et de racines. Par exemple :

x3+5x+6x,2x+3x−13x^3 + 5x + \frac{6}{\sqrt{x}}, \qquad \frac{2x + 3}{\sqrt[3]{x - 1}}

Une expression algébrique n’a pas toujours un sens pour toutes les valeurs de la variable : la première, par exemple, n’en a pas si xx est strictement négatif, car la racine carrée n’existe pas, ni si xx est nul, car il y aurait une division par zéro. Préciser où elle a un sens est le premier problème que pose l’étude des fonctions.