Opérations sur les fonctions, réciproque et transformations

Opérations sur les fonctions

Dans la leçon sur les fonctions algébriques, on a défini une fonction comme une règle qui associe à chaque élément de son ensemble de définition exactement une image, et l’on a vu que les fonctions algébriques se forment à partir de la variable au moyen de sommes, de produits, de quotients et de racines. Ces opérations peuvent se comprendre comme des opérations entre fonctions : deux fonctions s’additionnent, se multiplient ou se divisent point par point, et l’une d’elles peut s’appliquer au résultat de l’autre. S’il en est ainsi, on étudie les fonctions compliquées en les décomposant en fonctions plus simples.

Soient $f$ et $g$ des fonctions réelles d’une variable réelle. Leur somme $f + g$, leur différence $f - g$ et leur produit $f \cdot g$ sont les fonctions qui associent à chaque $x$ la somme, la différence et le produit des images ; leur quotient $\frac{f}{g}$ associe à chaque $x$ le quotient des images :

Pour que ces expressions aient un sens, $x$ doit appartenir aux deux ensembles de définition ; dans le quotient, de plus, l’image $g(x)$ ne peut pas s’annuler. On en déduit les ensembles de définition des opérations :

L’ensemble de définition de la différence et celui du produit coïncident avec celui de la somme, et le produit d’une fonction par un nombre $c$ est le produit par la fonction constante $c$, dont l’ensemble de définition est $\mathbb{R}$. Or l’ensemble de définition d’une opération se détermine à partir des fonctions sur lesquelles on opère, et non à partir de la formule obtenue après simplification. Si $f(x) = x^2 - 1$ et $g(x) = x - 1$, le quotient coïncide avec $x + 1$ sur tout son ensemble de définition, mais cet ensemble exclut $1$, car $g(1) = 0$ : la courbe du quotient est la droite $y = x + 1$ privée du point $(1, 2)$. De même, si $f(x) = \sqrt{x}$ et $g(x) = \sqrt{-x}$, la somme n’est définie qu’en $x = 0$, le seul point commun des ensembles de définition. Les points exclus comme le premier s’appelleront points de discontinuité évitables dans la leçon sur les tableaux de signes et les inéquations, et leur effet sur les courbes sera étudié dans la leçon sur les fonctions rationnelles.

La composition des fonctions

L’opération la plus importante entre fonctions n’a pas d’analogue entre nombres : elle consiste à appliquer une fonction au résultat d’une autre. La composée de $f$ et de $g$, qui se note $f \circ g$ et se lit « $f$ rond $g$ », est la fonction qui applique d’abord $g$ puis $f$ :

On peut se la représenter comme une suite de deux machines : $x$ entre dans $g$, qui produit $g(x)$, et ce nombre entre dans $f$, qui produit $f(g(x))$. Pour que la suite fonctionne, $x$ doit appartenir à l’ensemble de définition de $g$, et son image à celui de $f$ :

Remarquons l’ordre : dans $f \circ g$, c’est la fonction écrite à droite qui agit la première. Les fonctions algébriques sont des composées de fonctions plus simples ; par exemple, $\sqrt{1 - x^2}$ est la racine carrée composée avec $1 - x^2$, et c’est en reconnaissant cette structure qu’on peut calculer son ensemble de définition.

Bien qu’elle ne soit pas commutative, la composition est associative : quand on enchaîne trois fonctions, il revient au même de grouper d’abord les deux premières ou les deux dernières. Pour des fonctions entre des ensembles donnés, cela a été démontré dans la leçon sur les ensembles, les relations et les fonctions de la première unité. La seule chose propre aux fonctions réelles est l’ensemble de définition, qui ici n’est pas déclaré à l’avance mais se déduit des formules. Or, en appliquant deux fois la définition de l’ensemble de définition d’une composée, un nombre $x$ est dans l’ensemble de définition de $h \circ (g \circ f)$ exactement lorsqu’il est dans celui de $f$, que son image $f(x)$ est dans celui de $g$ et que $g(f(x))$ est dans celui de $h$ ; et la même condition s’obtient pour $(h \circ g) \circ f$. Restreintes à cet ensemble commun, les fonctions que l’on enchaîne sont des fonctions entre ensembles, et le théorème de cette leçon donne dans les deux cas la valeur $h(g(f(x)))$. C’est pourquoi on écrit simplement $h \circ g \circ f$.