Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Действия с функциями, обратная функция и преобразования графиков

Краткое содержание

В этом уроке функции изучаются как объекты, над которыми выполняются действия. Определяются сумма, произведение, частное и композиция действительных функций вместе с их областями определения, и показывается, что композиция не коммутативна. Из урока о множествах, отношениях и функциях берутся ассоциативность композиции, инъективность и теорема об обратной функции, и к ним добавляется то, что свойственно именно действительным функциям: область определения композиции, монотонные функции, обратная к строго монотонной функции, нахождение обратной функции выражением переменной и сужением области определения, а также график обратной функции, который получается из исходного отражением относительно прямой y=xy = x. Затем изучаются чётные и нечётные функции, сдвиги, растяжения и отражения графика, кусочно заданные функции и функции с модулями.

Цели обучения

  1. Складывать, умножать, делить функции и строить их композиции, а также находить область определения каждого результата по областям определения исходных функций.
  2. Определять, является ли функция инъективной, сюръективной или биективной, и находить обратную к ней, сужая при необходимости область определения.
  3. Распознавать симметрии графика: относительно вертикальной оси, относительно начала координат и относительно прямой y=xy = x.
  4. Получать график функции из графика другой функции с помощью сдвигов, растяжений, отражений и модулей, соблюдая порядок их применения.
  5. Истолковывать действия с функциями и обратную функцию в прикладных задачах, таких как формула линзы, где обратная функция меняет местами роли предмета и изображения.

Действия с функциями

В уроке об алгебраических функциях функция была определена как правило, сопоставляющее каждому элементу её области определения ровно один образ, и было показано, что алгебраические функции строятся из переменной с помощью сумм, произведений, частных и корней. Эти действия можно понимать как действия над функциями: две функции складываются, умножаются или делятся поточечно, и одну из них можно применить к результату другой. Если это так, то сложные функции изучаются разложением на более простые.

Пусть ff и gg есть действительные функции действительного переменного. Их сумма f+gf + g, их разность f−gf - g и их произведение f⋅gf \cdot g суть функции, сопоставляющие каждому xx сумму, разность и произведение образов; их частное fg\frac{f}{g} сопоставляет каждому xx частное образов:

f+g:x↦f(x)+g(x),f⋅g:x↦f(x)⋅g(x),fg:x↦f(x)g(x)f + g : x \mapsto f(x) + g(x), \qquad f \cdot g : x \mapsto f(x) \cdot g(x), \qquad \frac{f}{g} : x \mapsto \frac{f(x)}{g(x)}

Чтобы эти выражения имели смысл, xx должно принадлежать обеим областям определения; в частном, кроме того, образ g(x)g(x) не может обращаться в нуль. Отсюда следуют области определения результатов:

D⁡(f+g)=D⁡(f)∩D⁡(g),D⁡(fg)={x∈D⁡(f)∩D⁡(g):g(x)≠0}\operatorname{D}(f + g) = \operatorname{D}(f) \cap \operatorname{D}(g), \qquad \operatorname{D}\left( \frac{f}{g} \right) = \{ x \in \operatorname{D}(f) \cap \operatorname{D}(g) : g(x) \neq 0 \}

Область определения разности и область определения произведения совпадают с областью определения суммы, а произведение функции на число cc есть произведение на постоянную функцию cc, область определения которой есть R\mathbb{R}. Однако область определения результата находится по исходным функциям, а не по формуле, которая получается после упрощения. Если f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 и g(x)=x−1g(x) = x - 1, то частное совпадает с x+1x + 1 во всей своей области определения, но эта область не содержит число 11, поскольку g(1)=0g(1) = 0: график частного есть прямая y=x+1y = x + 1 без точки (1,2)(1, 2). Точно так же, если f(x)=xf(x) = \sqrt{x} и g(x)=−xg(x) = \sqrt{-x}, то сумма определена только при x=0x = 0, в единственной общей точке областей определения. Исключённые точки, подобные первой, в уроке о таблицах знаков и неравенствах будут названы устранимыми точками, а их влияние на графики будет изучено в уроке о рациональных функциях.

Композиция функций

Важнейшее действие над функциями не имеет аналога среди действий над числами: оно состоит в применении одной функции к результату другой. Композиция ff и gg, которая обозначается f∘gf \circ g и читается «ff после gg», есть функция, применяющая сначала gg, а затем ff:

(f∘g)(x)=f(g(x))\left( f \circ g \right)(x) = f(g(x))

Её можно представить как две последовательно соединённые машины: xx поступает в gg, которая выдаёт g(x)g(x), и это число поступает в ff, которая выдаёт f(g(x))f(g(x)). Чтобы такое соединение работало, xx должно принадлежать области определения gg, а его образ должен принадлежать области определения ff:

D⁡(f∘g)={x∈D⁡(g):g(x)∈D⁡(f)}\operatorname{D}(f \circ g) = \{ x \in \operatorname{D}(g) : g(x) \in \operatorname{D}(f) \}

Обратите внимание на порядок: в f∘gf \circ g первой действует функция, записанная справа. Алгебраические функции являются композициями более простых функций; например, 1−x2\sqrt{1 - x^2} есть квадратный корень, применённый к 1−x21 - x^2, и именно распознавание этой структуры позволяет найти её область определения.

ПримерДве разные композиции

Пусть f(x)=xf(x) = \sqrt{x} и g(x)=1−x2g(x) = 1 - x^2. Найти функции f∘gf \circ g и g∘fg \circ f вместе с их областями определения и сравнить их. Рисунок изображает каждую композицию как путь по трём числовым прямым: прямой значений xx, прямой первого образа и прямой второго.

Доказательство

  1. (f∘g)(x)=1−x2,1−x2≥0\left( f \circ g \right)(x) = \sqrt{\resaltar{1 - x^2}}, \quad 1 - x^2 \geq 0

    Область определения gg есть R\mathbb{R}, а область определения ff состоит из неотрицательных действительных чисел. Для вычисления f∘gf \circ g образ g(x)g(x) должен быть неотрицательным; значения xx, при которых он отрицателен, например x=2x = 2, не проходят через вторую машину.

  2. (1−x)(1+x)≥0↔D⁡(f∘g)=[−1,1]\resaltar{(1 - x)(1 + x)} \geq 0 \leftrightarrow \dato{fg}{\operatorname{D}(f \circ g) = \icc{-1}{1}}

    Раскладываем разность квадратов. По лемме о знаке произведения оба множителя должны быть неотрицательными, поскольку для того, чтобы оба были отрицательными, потребовалось бы одновременно x>1x > 1 и x<−1x < -1.

  3. (g∘f)(x)=1−(x)2=1−x,D⁡(g∘f)=[0,∞)\left( g \circ f \right)(x) = 1 - \resaltar{\left( \sqrt{x} \right)^2} = \resaltar{1 - x}, \quad \dato{gf}{\operatorname{D}(g \circ f) = \ico{0}{\infty}}

    Для g∘fg \circ f число xx должно принадлежать области определения ff, а x\sqrt{x} всегда принадлежит области определения gg. При упрощении формула теряет след корня, но область определения его сохраняет.

  4. (f∘g)(12)=34=32,(g∘f)(12)=12\left( f \circ g \right)\left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \left( g \circ f \right)\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}

    Две композиции являются разными функциями: у них разные области определения, и в одной и той же точке, общей для обеих, например x=12x = \frac{1}{2}, они принимают разные значения. Следовательно, композиция не коммутативна.

Хотя композиция не коммутативна, она ассоциативна: при последовательном применении трёх функций всё равно, сгруппировать ли сначала две первые или две последние. Для функций между заданными множествами это было доказано в уроке о множествах, отношениях и функциях первого раздела. Своеобразие действительных функций состоит лишь в области определения, которая здесь не объявляется заранее, а выводится из формул. Однако, применяя дважды определение области определения композиции, получаем, что число xx принадлежит области определения h∘(g∘f)h \circ (g \circ f) в точности тогда, когда оно принадлежит области определения ff, его образ f(x)f(x) принадлежит области определения gg и g(f(x))g(f(x)) принадлежит области определения hh; и то же условие получается для (h∘g)∘f(h \circ g) \circ f. После сужения на эту общую область определения последовательно применяемые функции становятся функциями между множествами, и теорема того урока даёт в обоих случаях значение h(g(f(x)))h(g(f(x))). Поэтому пишут просто h∘g∘fh \circ g \circ f.

D⁡(h∘g∘f)={x∈D⁡(f):f(x)∈D⁡(g)∧g(f(x))∈D⁡(h)}\operatorname{D}(h \circ g \circ f) = \{ x \in \operatorname{D}(f) : f(x) \in \operatorname{D}(g) \wedge g(f(x)) \in \operatorname{D}(h) \}