Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Рациональные функции: асимптоты и график

Краткое содержание

Рациональная функция есть частное двух многочленов. Этот урок учит исследовать её и строить эскиз её графика с помощью двух алгебраических инструментов: таблицы знаков и деления многочленов. Нули знаменателя задают область определения и дают, в зависимости от того, обращается ли в них в нуль числитель, устранимые точки или вертикальные асимптоты, вблизи которых таблица знаков решает, куда уходит кривая. Деление записывает функцию как многочлен плюс дробь, стремящуюся к нулю, и этот многочлен есть горизонтальная, наклонная или криволинейная асимптота, к которой приближается график, когда переменная стремится к бесконечности. Точки пересечения с осями завершают эскиз, а множество значений находится выражением переменной, когда это возможно, или, в противном случае, исходя из поведения ветвей.

Цели обучения

  1. Находить область определения рациональной функции и отличать среди нулей знаменателя устранимые точки от вертикальных асимптот.
  2. Описывать поведение рациональной функции по каждую сторону от вертикальной асимптоты с помощью её таблицы знаков.
  3. Находить с помощью деления многочленов горизонтальную, наклонную или криволинейную асимптоту рациональной функции и положение графика относительно неё.
  4. Строить эскиз графика рациональной функции и находить её множество значений: точно, когда уравнение y=f(x)y = f(x) удаётся решить, а в противном случае в той мере, в какой это позволяют её ветви.
  5. Моделировать рациональными функциями прикладные ситуации, такие как мощность, отдаваемая аккумулятором, средние издержки производства или концентрация смеси, и истолковывать в этом контексте их асимптоты и множество значений.

Рациональные функции и их область определения

В уроке об алгебраических функциях рациональной была названа всякая функция, которая есть частное двух многочленов со знаменателем, не являющимся нулевым многочленом:

f(x)=P(x)Q(x)f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

Её область определения состоит из действительных чисел, не обращающих знаменатель в нуль. Чтобы найти её, нужно, следовательно, найти корни QQ, и для этого служат формула корней квадратного уравнения и приёмы урока о разложении квадратного трёхчлена, вместе с теоремами Безу и о множителе из урока об алгебре многочленов. Поэтому всякое исследование рациональной функции начинается с разложения её знаменателя на множители.

Однако не все нули знаменателя играют одну и ту же роль. Как было показано в уроке о таблицах знаков и неравенствах, если число rr обращает в нуль одновременно QQ и PP, то по теореме о множителе оба многочлена делятся на x−rx - r, и общий множитель сокращается во всех точках области определения. Если знаменатель упрощённой дроби уже не обращается в нуль в точке rr, то число rr есть устранимая точка: график ff есть график упрощённой дроби с единственной выколотой точкой, и функция была бы определена в точке rr, если бы ей приписали значение упрощённой дроби. Если же после сокращения всех общих множителей число rr по-прежнему обращает знаменатель в нуль, то прямая x=rx = r есть вертикальная асимптота, как уточняется ниже. Поэтому дробь стоит упростить, прежде чем её исследовать, не забывая, что сокращённые числа по-прежнему лежат вне области определения.