परिमेय फलन: अनंतस्पर्शी और आलेख

परिमेय फलन और उनका प्रांत

बीजीय फलनों पर पाठ में प्रत्येक ऐसे फलन को परिमेय कहा गया जो दो बहुपदों का भागफल हो, और जिसका हर शून्य बहुपद न हो:

इसका प्रांत उन वास्तविक संख्याओं से बनता है जो हर को शून्य नहीं बनातीं। अतः इसे ज्ञात करने के लिए $Q$ के मूल ज्ञात करने होते हैं, और इसके लिए द्विघात सूत्र और द्विघात बहुपद के गुणनखंडन पर पाठ की तकनीकें काम आती हैं, साथ ही बहुपदों के बीजगणित पर पाठ की शेषफल प्रमेय और गुणनखंड प्रमेय। फलतः किसी परिमेय फलन का पूरा अध्ययन उसके हर का गुणनखंडन करने से आरंभ होता है।

परंतु हर के सभी शून्यक एक जैसी भूमिका नहीं निभाते। जैसा चिह्न-सारणियों और असमिकाओं पर पाठ में देखा गया, यदि कोई संख्या $r$ एक साथ $Q$ और $P$ को शून्य बनाती है, तो गुणनखंड प्रमेय से दोनों बहुपद $x - r$ से विभाज्य हैं, और उभयनिष्ठ गुणनखंड प्रांत के सभी बिंदुओं पर निरस्त हो जाता है। यदि सरलीकृत भिन्न का हर $r$ पर अब शून्य नहीं होता, तो संख्या $r$ एक हटाने योग्य बिंदु है: $f$ का आलेख सरलीकृत भिन्न का आलेख है जिसमें से केवल एक बिंदु हटाया गया है, और यदि फलन को सरलीकृत भिन्न का मान दे दिया जाए तो वह $r$ पर परिभाषित हो जाएगा। इसके विपरीत, यदि सभी उभयनिष्ठ गुणनखंडों को निरस्त करने के बाद भी संख्या $r$ हर को शून्य बनाती रहती है, तो रेखा $x = r$ एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है, जैसा आगे स्पष्ट किया जाता है। इसीलिए भिन्न का अध्ययन करने से पहले उसे सरल कर लेना उचित है, यह न भूलते हुए कि निरस्त की गई संख्याएँ प्रांत से बाहर ही रहती हैं।