Fvnctiones rationales: asymptoti et delineatio

Svmmarivm

Fvnctio rationalis est qvotiens dvorvm polynomiorvm. Haec lectio docet eam investigare eivsqve delineationem advmbrare dvobvs instrvmentis algebraicis: tabvla signorvm et divisione polynomiorvm. Nihila denominatoris dominivm definivnt et, provt nvmerator in eis evanescit necne, pvncta evitabilia vel asymptotos verticales praebent, ivxta qvas tabvla signorvm decernit qvo cvrva effvgiat. Divisio fvnctionem scribit vt polynomivm plvs fractionem qvae ad nihilvm tendit, et hoc polynomivm est asymptotvs horizontalis, obliqva vel cvrvilinea ad qvam delineatio accedit cvm variabilis ad infinitvm tendit. Intersectionibvs cvm axibvs advmbratio perficitvr, et copia imaginvm obtinetvr variabili explicata, cvm fieri potest, avt, si minvs, ex habitv ramorvm.

Proposita discendi

Dominivm fvnctionis rationalis determinare et, inter nihila denominatoris, pvncta evitabilia ab asymptotis verticalibvs distingvere.
Habitvm fvnctionis rationalis in vtroqve latere asymptoti verticalis per eivs tabvlam signorvm describere.
Per divisionem polynomiorvm asymptotvm horizontalem, obliqvam vel cvrvilineam fvnctionis rationalis obtinere, et sitvm delineationis respectv eivs.
Delineationem fvnctionis rationalis advmbrare eivsqve copiam imaginvm determinare, accvrate cvm aeqvatio $y = f(x)$ solvi potest et, si minvs, qvatenvs rami eivs sinvnt.
Condiciones applicatas fvnctionibvs rationalibvs exprimere, vt potentiam qvam pila electrica praebet, svmptvm medivm prodvctionis vel concentrationem mixtvrae, et earvm asymptotos copiamqve imaginvm in re ipsa interpretari.

Fvnctiones rationales et earvm dominivm

In lectione de fvnctionibvs algebraicis rationalis appellata est omnis fvnctio qvae est qvotiens dvorvm polynomiorvm, denominatore qvi non est polynomivm nvllvm:

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

Eivs dominivm constat ex realibvs qvi denominatorem non evanescere facivnt. Ad id inveniendvm igitvr radices ipsivs $Q$ inveniendae svnt, et ad hoc valent formvla qvadratica et artes lectionis de factorizatione polynomii qvadratici, vna cvm theorematibvs residvi et factoris lectionis de algebra polynomiorvm. Omnis igitvr investigatio fvnctionis rationalis a denominatore in factores resolvendo incipit.

Iam vero non omnia nihila denominatoris idem mvnvs gervnt. Vt in lectione de tabvlis signorvm et inaeqvationibvs visvm est, si nvmervs $r$ simvl et $Q$ et $P$ evanescere facit, per theorema factoris ambo polynomia per $x - r$ divisibilia svnt, et factor commvnis in omnibvs pvnctis dominii tollitvr. Si denominator fractionis simplificatae in $r$ iam non evanescit, nvmervs $r$ est pvnctvm evitabile: delineatio ipsivs $f$ est delineatio fractionis simplificatae vno pvncto svblato, et fvnctio in $r$ definita esset si ei valor fractionis simplificatae attribveretvr. Si contra, omnibvs factoribvs commvnibvs svblatis, nvmervs $r$ denominatorem adhvc evanescere facit, recta $x = r$ est asymptotvs verticalis, vt infra accvrativs exponitvr. Qvare expedit fractionem simplificare anteqvam investigetvr, nec oblivisci nvmeros svblatos extra dominivm manere.