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Topos Uranos
Français

Fonctions rationnelles : asymptotes et courbe représentative

Résumé

Une fonction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Cette leçon enseigne à l’étudier et à tracer l’allure de sa courbe représentative avec deux instruments algébriques : le tableau de signes et la division des polynômes. Les zéros du dénominateur fixent l’ensemble de définition et donnent, selon que le numérateur s’y annule ou non, des points de discontinuité évitables ou des asymptotes verticales, au voisinage desquelles le tableau de signes décide de quel côté s’échappe la courbe. La division écrit la fonction comme un polynôme plus une fraction qui tend vers zéro, et ce polynôme est l’asymptote horizontale, l’asymptote oblique ou la courbe asymptote dont s’approche la courbe représentative lorsque la variable tend vers l’infini. Les points d’intersection avec les axes complètent l’allure de la courbe, et l’ensemble image s’obtient en exprimant la variable à partir de l’équation lorsque c’est possible ou, sinon, à partir du comportement des branches.

Objectifs d’apprentissage

  1. Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction rationnelle et distinguer, parmi les zéros du dénominateur, les points évitables des asymptotes verticales.
  2. Décrire le comportement d’une fonction rationnelle de chaque côté d’une asymptote verticale au moyen de son tableau de signes.
  3. Obtenir, au moyen de la division des polynômes, l’asymptote horizontale, oblique ou la courbe asymptote d’une fonction rationnelle et la position de la courbe par rapport à elle.
  4. Tracer l’allure de la courbe d’une fonction rationnelle et déterminer son ensemble image, avec exactitude lorsque l’équation y=f(x)y = f(x) peut être résolue et, sinon, dans la mesure où ses branches le permettent.
  5. Modéliser par des fonctions rationnelles des situations appliquées, comme la puissance que fournit une batterie, le coût moyen d’une production ou la concentration d’un mélange, et interpréter dans le contexte leurs asymptotes et leur ensemble image.

Fonctions rationnelles et ensemble de définition

Dans la leçon sur les fonctions algébriques, on a appelé rationnelle toute fonction qui est le quotient de deux polynômes, avec un dénominateur qui n’est pas le polynôme nul :

f(x)=P(x)Q(x)f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

Son ensemble de définition est formé des réels qui n’annulent pas le dénominateur. Le trouver exige donc de trouver les racines de QQ, et pour cela servent la formule du second degré et les techniques de la leçon sur la factorisation du trinôme du second degré, ainsi que les théorèmes du reste et du facteur de la leçon sur l’algèbre des polynômes. Toute étude d’une fonction rationnelle commence, par conséquent, par la factorisation de son dénominateur.

Or, tous les zéros du dénominateur ne jouent pas le même rôle. Comme on l’a vu dans la leçon sur les tableaux de signes et les inéquations, si un nombre rr annule à la fois QQ et PP, d’après le théorème du facteur les deux polynômes sont divisibles par x−rx - r, et le facteur commun se simplifie en tout point de l’ensemble de définition. Si le dénominateur de la fraction simplifiée ne s’annule plus en rr, le nombre rr est un point de discontinuité évitable : la courbe de ff est celle de la fraction simplifiée privée d’un seul point, et la fonction serait définie en rr si on lui attribuait la valeur de la fraction simplifiée. Si, au contraire, après simplification de tous les facteurs communs, le nombre rr annule encore le dénominateur, la droite x=rx = r est une asymptote verticale, comme on le précise ci-dessous. C’est pourquoi il convient de simplifier la fraction avant de l’étudier, sans oublier que les nombres simplifiés restent hors de l’ensemble de définition.