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Topos Uranos
Français

Tableaux de signes et inéquations

Résumé

Cette leçon apprend à déterminer le signe d’un polynôme et d’un quotient de polynômes à partir de sa factorisation, en organisant l’analyse dans un tableau de signes. Elle étudie le rôle de la multiplicité des racines et des facteurs du second degré irréductibles, distingue, parmi les zéros du dénominateur, les asymptotes verticales des points de discontinuité évitables, avec une première idée intuitive de limite, et applique la méthode à la résolution d’inéquations polynomiales et rationnelles, strictes et larges, et à la détermination de l’ensemble de définition de fonctions comportant des quotients et des racines, y compris des racines emboîtées. C’est la première de trois leçons consacrées à l’ensemble de définition, à l’ensemble image et à la courbe représentative des fonctions algébriques.

Objectifs d’apprentissage

  1. Construire le tableau de signes d’un polynôme factorisé, en tenant compte de la multiplicité de chaque racine et des facteurs du second degré irréductibles.
  2. Déterminer le signe d’un quotient de polynômes et reconnaître, parmi les zéros du dénominateur, les asymptotes verticales et les points évitables.
  3. Résoudre des inéquations polynomiales et rationnelles, strictes et larges, sans multiplier par des expressions de signe inconnu.
  4. Déterminer l’ensemble de définition de fonctions comportant des quotients et des racines, y compris des racines emboîtées, au moyen de tableaux de signes.
  5. Traduire en inéquations des problèmes appliqués, comme la durée d’un trajet, l’effet d’un médicament ou la conception d’un emballage, et les résoudre avec des tableaux de signes.

Le signe d’un polynôme

Bien des questions sur une fonction se ramènent à savoir où une expression est strictement positive, strictement négative ou nulle : l’ensemble de définition d’une racine carrée exige un radicande positif ou nul, une inéquation demande où une expression est strictement positive, et la courbe représentative d’une fonction est au-dessus de l’axe des xx exactement là où la fonction est strictement positive. L’instrument qui répond à cette question est le tableau de signes, et sa matière première est la factorisation étudiée dans la leçon sur la factorisation du trinôme du second degré.

Le signe d’un facteur du premier degré

Un facteur du premier degré ax+bax + b, avec a≠0a \neq 0, ne s’annule qu’en x=−bax = -\frac{b}{a} et a un signe constant de chaque côté de ce point. Si a>0a > 0, il est strictement négatif à gauche et strictement positif à droite ; si a<0a < 0, c’est le contraire. Par exemple, x−3x - 3 est strictement positif exactement lorsque x>3x > 3, et 2−x2 - x exactement lorsque x<2x < 2 :

x−3>0↔x>3,2−x>0↔x<2x - 3 > 0 \leftrightarrow x > 3, \qquad 2 - x > 0 \leftrightarrow x < 2
LemmeSigne d’un facteur du premier degré

Soit ax+bax + b un polynôme de degré 11, de racine r=−bar = -\frac{b}{a}. Si a>0a > 0, alors ax+bax + b est strictement positif exactement lorsque x>rx > r et strictement négatif exactement lorsque x<rx < r ; si a<0a < 0, il est strictement positif exactement lorsque x<rx < r et strictement négatif exactement lorsque x>rx > r.

On utilise les règles de calcul sur les inégalités, démontrées dans la leçon sur la droite réelle, et le lemme du signe d’un produit de la leçon sur les fonctions algébriques.

Démonstration

  1. ax+b=a(x+ba)=a (x−r)ax + b = a\left( x + \frac{b}{a} \right) = \dato{f}{a \, \resaltar{(x - r)}}

    Nous mettons aa en facteur : le facteur du premier degré est le produit de aa par la différence x−rx - r, qui est strictement positive exactement lorsque x>rx > r, nulle en rr et strictement négative exactement lorsque x<rx < r.

  2. a>0→(ax+b>0↔x>r)a > 0 \rightarrow \left( ax + b > 0 \leftrightarrow \resaltar{x > r} \right)

    D’après le lemme du signe d’un produit, a(x−r)a(x - r) est strictement positif exactement lorsque aa et x−rx - r ont le même signe. Si a>0a > 0, cela se produit exactement lorsque x>rx > r.

  3. a<0→(ax+b>0↔x<r)a < 0 \rightarrow \left( ax + b > 0 \leftrightarrow \resaltar{x < r} \right)

    Si a<0a < 0, le produit est strictement positif exactement lorsque x−rx - r est strictement négatif, c’est-à-dire lorsque x<rx < r ; et dans les deux cas le produit est strictement négatif exactement lorsque les signes sont opposés.

Le tableau de signes d’un produit

Supposons qu’un polynôme soit écrit comme produit de facteurs du premier degré. Les nombres en lesquels un facteur s’annule s’appellent valeurs critiques ; rangées dans l’ordre croissant, elles partagent la droite réelle en intervalles ouverts. Or chacun de ces intervalles se trouve tout entier d’un même côté de la racine de chaque facteur, de sorte que, d’après le lemme du signe d’un facteur du premier degré, aucun facteur ne change de signe à l’intérieur ; il s’ensuit que le produit a lui aussi un signe constant sur chaque intervalle. Ce signe est donné par la règle des signes, qui étend à nn facteurs le lemme du signe d’un produit de deux facteurs, démontré dans la leçon sur les fonctions algébriques. L’extension se démontre par récurrence, comme dans la leçon sur les sommes, les suites arithmétiques et géométriques et la récurrence.

LemmeRègle des signes

Un produit de nn facteurs réels non nuls est différent de zéro ; il est strictement négatif si le nombre de ses facteurs strictement négatifs est impair, et strictement positif s’il est pair.

Soient c1,c2,…,cnc_1, c_2, \ldots, c_n des nombres réels non nuls et Πn=c1c2⋯cn\Pi_n = c_1 c_2 \cdots c_n leur produit. Nous raisonnons par récurrence sur le nombre nn de facteurs. La figure montre les facteurs sur une ligne et, sous chacun d’eux, le signe du produit cumulé jusqu’à lui.

Démonstration

  1. c>0→(p⋅c>0↔p>0),c<0→(p⋅c>0↔p<0)\dato{pos}{c > 0 \rightarrow (p \cdot c > 0 \leftrightarrow p > 0)}, \quad \dato{neg}{c < 0 \rightarrow (p \cdot c > 0 \leftrightarrow p < 0)}

    D’après le lemme du signe d’un produit de deux facteurs, le produit d’un réel non nul pp par un réel non nul cc n’est pas nul ; si cc est strictement positif, il a le signe de pp, et si cc est strictement négatif, le signe contraire.

  2. Π1=c1\Pi_1 = c_1

    Initialisation : si n=1n = 1, le produit est le facteur lui-même, qui est strictement négatif exactement lorsqu’il y a un facteur strictement négatif, et 11 est impair.

  3. Πn+1=Πn⋅cn+1\dato{h}{\Pi_{n + 1} = \Pi_n \cdot c_{n + 1}}

    Hypothèse de récurrence : Πn\Pi_n est strictement négatif si le nombre knk_n de ses facteurs strictement négatifs est impair, et strictement positif s’il est pair. Nous ajoutons un facteur de plus.

  4. cn+1>0→kn+1=knc_{n + 1} > 0 \rightarrow \resaltar{k_{n + 1} = k_n}

    Si cn+1c_{n + 1} est strictement positif, le signe du produit ne change pas, et le nombre de facteurs strictement négatifs ne change pas : la règle est vraie pour n+1n + 1 facteurs.

  5. cn+1<0→kn+1=kn+1c_{n + 1} < 0 \rightarrow \resaltar{k_{n + 1} = k_n + 1}

    Si cn+1c_{n + 1} est strictement négatif, le signe s’inverse et le nombre de facteurs strictement négatifs augmente d’un, ce qui change sa parité. La règle est encore vraie et, d’après le principe de récurrence, elle vaut pour tout nn.

Le tableau de signes organise ce raisonnement. Ses colonnes sont les intervalles déterminés par les valeurs critiques ; il a une ligne pour chaque facteur et une dernière ligne pour le produit, que l’on obtient colonne par colonne avec la règle des signes. En chaque valeur critique, on inscrit un 00 dans les lignes des facteurs qui s’annulent, ainsi que dans celle du produit.

ExempleLe tableau de signes d’un produit

Déterminer le signe du polynôme P(x)=(x+2)(x−1)(x−3)P(x) = (x + 2)(x - 1)(x - 3) en chaque point de la droite réelle.

Démonstration

  1. P(x)=0↔x=−2∨x=1∨x=3P(x) = 0 \leftrightarrow x = -2 \vee x = 1 \vee x = 3

    Les valeurs critiques sont les racines des trois facteurs. Elles partagent la droite en quatre intervalles, qui sont les colonnes du tableau.

  2. x+2>0↔x>−2x + 2 > 0 \leftrightarrow x > -2

    Le facteur x+2x + 2 s’annule en −2-2 ; il est strictement négatif à gauche de ce point et strictement positif à droite.

  3. x−1>0↔x>1x - 1 > 0 \leftrightarrow x > 1

    Le facteur x−1x - 1 change de signe en 11.

  4. x−3>0↔x>3x - 3 > 0 \leftrightarrow x > 3

    Le facteur x−3x - 3 change de signe en 33.

  5. P(x)<0↔x<−2∨1<x<3P(x) < 0 \leftrightarrow x < -2 \vee 1 < x < 3

    Dans chaque colonne, nous comptons les facteurs strictement négatifs : trois, deux, un et aucun. Le produit est strictement négatif lorsque leur nombre est impair.

  6. P(x)>0↔−2<x<1∨x>3P(x) > 0 \leftrightarrow -2 < x < 1 \vee x > 3

    Dans les autres colonnes, le produit est strictement positif, et il s’annule aux trois valeurs critiques. La courbe le confirme : elle est au-dessus de l’axe exactement sur ces intervalles, et le traverse en chaque valeur critique.

Multiplicité et facteurs irréductibles

Tout polynôme ne se décompose pas en facteurs du premier degré distincts. Comme on l’a vu dans la leçon sur les racines des polynômes de degré supérieur, rr est une racine de multiplicité kk lorsque le polynôme est le produit de (x−r)k(x - r)^k par un autre polynôme qui ne s’annule pas en rr, et cette multiplicité se détermine par la division synthétique répétée ; dans le tableau, le facteur correspondant est (x−r)k(x - r)^k. D’autre part, d’après le théorème du signe du discriminant, démontré dans la leçon sur la factorisation du trinôme du second degré, un facteur du second degré ax2+bx+cax^2 + bx + c de discriminant strictement négatif est irréductible et n’a pas de racine réelle. La proposition suivante dit quel rôle joue chacun d’eux dans le tableau.

PropositionSigne et multiplicité

Le signe d’un polynôme factorisé change à la traversée d’une valeur critique si et seulement si la multiplicité de cette racine est impaire. Les facteurs du second degré irréductibles ont un signe constant, celui de leur coefficient dominant, et peuvent être supprimés d’une inéquation lorsqu’ils sont strictement positifs, car diviser par un nombre strictement positif conserve l’inégalité.

Soit rr une racine de multiplicité kk du polynôme PP. La figure suit la démonstration avec r=1r = 1 et le cofacteur x+2x + 2, et à la fin avec le facteur irréductible x2+x+1x^2 + x + 1.

Démonstration

  1. P(x)=(x−r)kC(x),C(r)≠0\dato{p}{P(x) = \resaltar{(x - r)^k} C(x), \quad C(r) \neq 0}

    Nous écrivons PP en séparant le facteur de rr. Entre rr et la valeur critique de CC la plus proche, aucun facteur de CC ne s’annule, et d’après la règle des signes CC a un signe constant de part et d’autre de rr.

  2. k=2j→(x−r)k=((x−r)j)2>0,x≠rk = 2j \rightarrow (x - r)^k = \resaltar{\left( (x - r)^j \right)^2} > 0, \quad x \neq r

    Si kk est pair, (x−r)k(x - r)^k est le carré d’un nombre non nul de part et d’autre de rr, et il est strictement positif : PP y a le signe de CC, qui ne change pas.

  3. k=2j+1→(x−r)k=(x−r)((x−r)j)2k = 2j + 1 \rightarrow (x - r)^k = \resaltar{(x - r)} \left( (x - r)^j \right)^2

    Si kk est impair, (x−r)k(x - r)^k est le produit de x−rx - r par un carré strictement positif, et il a le signe de x−rx - r, qui change en rr : d’après la règle des signes, PP change de signe à la traversée de rr.

  4. ax2+bx+c=a((x+b2a)2+4ac−b24a2)ax^2 + bx + c = a \resaltar{\left( \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a^2} \right)}

    Si b2−4ac<0b^2 - 4ac < 0, dans la forme canonique le crochet est un carré augmenté d’un nombre strictement positif : le facteur a toujours le signe de aa, n’apporte aucune valeur critique et, si a>0a > 0, diviser par lui conserve le sens d’une inégalité.

ExempleUne racine double et un facteur irréductible

Déterminer où le polynôme Q(x)=(x+1)2(2−x)(x2+x+1)Q(x) = (x + 1)^2 (2 - x)(x^2 + x + 1) est strictement positif et où il est positif ou nul.

Démonstration

  1. Δ=12−4⋅1⋅1=−3<0\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0

    Les valeurs critiques sont −1-1, racine double, et 22. Le facteur du second degré n’en apporte aucune, car son discriminant est strictement négatif.

  2. (x+1)2>0↔x≠−1(x + 1)^2 > 0 \leftrightarrow x \neq -1

    Le facteur (x+1)2(x + 1)^2 est un carré : il s’annule en −1-1 et il est strictement positif de part et d’autre.

  3. 2−x>0↔x<22 - x > 0 \leftrightarrow x < 2

    Le facteur 2−x2 - x a un coefficient dominant strictement négatif : il est strictement positif à gauche de 22.

  4. x2+x+1=(x+12)2+34>0x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0

    Le facteur irréductible est strictement positif dans toutes les colonnes, comme le montre la forme canonique.

  5. Q(x)≥0↔x≤2Q(x) \geq 0 \leftrightarrow x \leq 2

    Avec la règle des signes, nous obtenons la ligne de QQ : le signe ne change pas en −1-1, racine de multiplicité paire, et change en 22. L’inégalité large inclut les deux zéros.

  6. Q(x)>0↔x<2∧x≠−1Q(x) > 0 \leftrightarrow x < 2 \wedge x \neq -1

    L’inégalité stricte exclut les zéros de QQ, y compris celui en −1-1, bien que de part et d’autre le polynôme soit strictement positif.