符号表与不等式 · Topos Uranos

摘要

本课讲授如何由因式分解确定多项式以及多项式之商的符号，并把分析整理成一张符号表。本课研究根的重数和不可约二次因式所起的作用，在分母的零点处区分垂直渐近线与可去点，并给出关于极限的最初的直观概念；然后把这一方法应用于求解多项式不等式和有理不等式（严格的与非严格的），以及确定含商和根式的函数的定义域，包括嵌套根式。本课是专门讨论代数函数的定义域、值域和图像的三课中的第一课。

学习目标

构造已分解多项式的符号表，考虑每个根的重数和不可约二次因式。
确定多项式之商的符号，并在分母的零点处辨认垂直渐近线和可去点。
求解多项式不等式和有理不等式（严格的与非严格的），而不乘以符号未知的表达式。
借助符号表确定含商和根式的函数的定义域，包括嵌套根式。
把应用问题（例如一次行程的时长、一种药物的效果或一种包装的设计）转化为不等式，并用符号表求解。

多项式的符号

关于函数的许多问题都归结为知道一个表达式在何处为正、为负或为零：平方根的定义域要求被开方数非负，不等式问的是表达式在何处为正，而函数的图像恰好在函数为正的地方位于 $x$ 轴上方。回答这个问题的工具是符号表，它的原材料是在关于二次多项式的因式分解的课中学过的因式分解。

一次因式的符号

一次因式 $ax + b$ （其中 $a \neq 0$ ）只在 $x = -\frac{b}{a}$ 处为零，并且在该点的每一侧符号不变。若 $a > 0$ ，它在左侧为负、在右侧为正；若 $a < 0$ ，则相反。例如， $x - 3$ 为正当且仅当 $x > 3$ ，而 $2 - x$ 为正当且仅当 $x < 2$ ：

x - 3 > 0 \leftrightarrow x > 3, \qquad 2 - x > 0 \leftrightarrow x < 2

引理一次因式的符号

设 $ax + b$ 是次数为 $1$ 的多项式，其根为 $r = -\frac{b}{a}$ 。若 $a > 0$ ，则 $ax + b$ 为正当且仅当 $x > r$ ，为负当且仅当 $x < r$ ；若 $a < 0$ ，则它为正当且仅当 $x < r$ ，为负当且仅当 $x > r$ 。

这里用到在关于实数轴的课中证明的不等式运算法则，以及关于代数函数的课中的积的符号引理。

证明

$ax + b = a\left( x + \frac{b}{a} \right) = \dato{f}{a \, \resaltar{(x - r)}}$
提出公因式 $a$ ：一次因式等于 $a$ 乘以差 $x - r$ ，而这个差为正当且仅当 $x > r$ ，在 $r$ 处为零，为负当且仅当 $x < r$ 。
$a > 0 \rightarrow \left( ax + b > 0 \leftrightarrow \resaltar{x > r} \right)$
由积的符号引理， $a(x - r)$ 为正当且仅当 $a$ 与 $x - r$ 同号。若 $a > 0$ ，这当且仅当 $x > r$ 时成立。
$a < 0 \rightarrow \left( ax + b > 0 \leftrightarrow \resaltar{x < r} \right)$
若 $a < 0$ ，则积为正当且仅当 $x - r$ 为负，即当 $x < r$ 时；并且在两种情形下，积为负当且仅当两个符号相反。

积的符号表

假设一个多项式写成了一次因式之积。使某个因式为零的数称为临界点；把它们从小到大排列，就把实数轴分成若干开区间。而每个这样的区间都完全位于每个因式的根的同一侧，因此由一次因式的符号引理，没有一个因式在区间内变号；由此可知，积在每个区间上的符号也不变。这个符号由符号法则给出，它把两个因式之积的符号引理推广到 $n$ 个因式，而该引理已在关于代数函数的课中证明。这一推广用归纳法证明，正如在关于求和、数列与归纳法的课中那样。

引理符号法则

$n$ 个非零实因式之积不等于零；若其负因式的个数为奇数，则积为负，若为偶数，则积为正。

设 $c_1, c_2, \ldots, c_n$ 是非零实数， $\Pi_n = c_1 c_2 \cdots c_n$ 是它们的积。对因式的个数 $n$ 进行归纳。图示把各因式排成一行，并在每个因式下方给出累乘到它为止的积的符号。

证明

$\dato{pos}{c > 0 \rightarrow (p \cdot c > 0 \leftrightarrow p > 0)}, \quad \dato{neg}{c < 0 \rightarrow (p \cdot c > 0 \leftrightarrow p < 0)}$
由两个因式之积的符号引理，非零实数 $p$ 与非零实数 $c$ 之积不为零；若 $c$ 为正，积与 $p$ 同号，若 $c$ 为负，积的符号与之相反。
$\Pi_1 = c_1$
起始情形：若 $n = 1$ ，积就是这个因式本身，它为负当且仅当有一个负因式，而 $1$ 是奇数。
$\dato{h}{\Pi_{n + 1} = \Pi_n \cdot c_{n + 1}}$
归纳假设： $\Pi_n$ 在其负因式的个数 $k_n$ 为奇数时为负，为偶数时为正。再添加一个因式。
$c_{n + 1} > 0 \rightarrow \resaltar{k_{n + 1} = k_n}$
若 $c_{n + 1}$ 为正，则积的符号不变，负因式的个数也不变：法则对 $n + 1$ 个因式成立。
$c_{n + 1} < 0 \rightarrow \resaltar{k_{n + 1} = k_n + 1}$
若 $c_{n + 1}$ 为负，则符号反转，而负因式的个数增加一，这改变了它的奇偶性。法则同样成立，于是由数学归纳原理，它对一切 $n$ 成立。

符号表把这一推理组织起来。它的列是由临界点确定的区间；每个因式占一行，最后一行是积，积的符号按符号法则逐列得出。在每个临界点处，在为零的因式所在的行中记 $0$ ，在积的行中也记。

例题积的符号表

确定多项式 $P(x) = (x + 2)(x - 1)(x - 3)$ 在实数轴上每一点处的符号。

证明

$P(x) = 0 \leftrightarrow x = -2 \vee x = 1 \vee x = 3$
临界点是三个因式的根。它们把数轴分成四个区间，即表的四列。
$x + 2 > 0 \leftrightarrow x > -2$
因式 $x + 2$ 在 $-2$ 处为零；它在该点左侧为负，右侧为正。
$x - 1 > 0 \leftrightarrow x > 1$
因式 $x - 1$ 在 $1$ 处变号。
$x - 3 > 0 \leftrightarrow x > 3$
因式 $x - 3$ 在 $3$ 处变号。
$P(x) < 0 \leftrightarrow x < -2 \vee 1 < x < 3$
在每一列中数负因式的个数：三个、两个、一个和零个。当这个个数为奇数时，积为负。
$P(x) > 0 \leftrightarrow -2 < x < 1 \vee x > 3$
在其余各列中积为正，并且在三个临界点处为零。图像证实了这一点：曲线恰好在这些区间上位于轴的上方，并在每个临界点处穿过轴。

重数与不可约因式

并非每个多项式都能分解成互不相同的一次因式。正如在关于高次多项式的根的课中所见， $r$ 是重数为 $k$ 的根，是指多项式等于 $(x - r)^k$ 乘以另一个在 $r$ 处不为零的多项式，而这个重数可以用反复的综合除法确定；在表中，相应的因式是 $(x - r)^k$ 。另一方面，由在关于二次多项式的因式分解的课中证明的判别式的符号定理，判别式为负的二次因式 $ax^2 + bx + c$ 是不可约的，没有实根。下面的命题说明它们各自在表中起什么作用。

命题符号与重数

已分解多项式的符号在穿过一个临界点时改变，当且仅当这个根的重数为奇数。不可约二次因式的符号不变，即其首项系数的符号；当它们为正时，可以从不等式中去掉，因为除以正数保持不等式不变。

设 $r$ 是一个重数为 $k$ 的根（多项式 $P$ 的根）。图示在 $r = 1$ 且余因式为 $x + 2$ 的情形下跟随证明，最后再加上不可约因式 $x^2 + x + 1$ 。

证明

$\dato{p}{P(x) = \resaltar{(x - r)^k} C(x), \quad C(r) \neq 0}$
写出 $P$ ，把 $r$ 对应的因式分离出来。在 $r$ 与 $C$ 的最近的临界点之间， $C$ 的任何因式都不为零，由符号法则， $C$ 在 $r$ 两侧符号不变。
$k = 2j \rightarrow (x - r)^k = \resaltar{\left( (x - r)^j \right)^2} > 0, \quad x \neq r$
若 $k$ 为偶数，则 $(x - r)^k$ 在 $r$ 两侧都是一个非零数的平方，因而为正： $P$ 在那里与 $C$ 同号，而后者的符号不变。
$k = 2j + 1 \rightarrow (x - r)^k = \resaltar{(x - r)} \left( (x - r)^j \right)^2$
若 $k$ 为奇数，则 $(x - r)^k$ 等于 $x - r$ 乘以一个正的平方，因而与 $x - r$ 同号，而后者在 $r$ 处变号：由符号法则， $P$ 在穿过 $r$ 时变号。
$ax^2 + bx + c = a \resaltar{\left( \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a^2} \right)}$
若 $b^2 - 4ac < 0$ ，则在配方形式中方括号内是一个平方加一个正数：该因式的符号总与 $a$ 相同，不产生临界点，并且若 $a > 0$ ，除以它保持不等式的方向。

例题一个二重根与一个不可约因式

确定多项式 $Q(x) = (x + 1)^2 (2 - x)(x^2 + x + 1)$ 在何处为正、在何处非负。

证明

$\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$
临界点是 $-1$ （二重根）和 $2$ 。二次因式不产生临界点，因为它的判别式为负。
$(x + 1)^2 > 0 \leftrightarrow x \neq -1$
因式 $(x + 1)^2$ 是一个平方：它在 $-1$ 处为零，在两侧为正。
$2 - x > 0 \leftrightarrow x < 2$
因式 $2 - x$ 的首项系数为负：它在 $2$ 左侧为正。
$x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0$
不可约因式在所有列中都为正，正如配方所示。
$Q(x) \geq 0 \leftrightarrow x \leq 2$
由符号法则得到 $Q$ 的行：符号在 $-1$ （偶数重根）处不变，在 $2$ 处改变。非严格不等式包含这两个零点。
$Q(x) > 0 \leftrightarrow x < 2 \wedge x \neq -1$
严格不等式排除 $Q$ 的零点，包括 $-1$ 处的零点，尽管多项式在它两侧都为正。