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Topos Uranos
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Tabelle dei segni e disequazioni

Riepilogo

Questa lezione insegna a determinare il segno di un polinomio e di un quoziente di polinomi a partire dalla sua scomposizione, organizzando l’analisi in una tabella dei segni. Studia il ruolo della molteplicità delle radici e dei fattori quadratici irriducibili, distingue, tra gli zeri del denominatore, gli asintoti verticali dai punti di discontinuità eliminabile, con una prima idea intuitiva di limite, e applica il metodo alla risoluzione di disequazioni polinomiali e razionali, strette e non strette, e alla determinazione del dominio di funzioni con quozienti e radici, comprese le radici annidate. È la prima di tre lezioni dedicate al dominio, all’insieme immagine e al grafico delle funzioni algebriche.

Obiettivi di apprendimento

  1. Costruire la tabella dei segni di un polinomio scomposto, tenendo conto della molteplicità di ogni radice e dei fattori quadratici irriducibili.
  2. Determinare il segno di un quoziente di polinomi e riconoscere, tra gli zeri del denominatore, gli asintoti verticali e i punti di discontinuità eliminabile.
  3. Risolvere disequazioni polinomiali e razionali, strette e non strette, senza moltiplicare per espressioni di segno sconosciuto.
  4. Determinare il dominio di funzioni con quozienti e radici, comprese le radici annidate, mediante tabelle dei segni.
  5. Tradurre in disequazioni problemi applicati, come la durata di un viaggio, l’effetto di un farmaco o la progettazione di una confezione, e risolverle con tabelle dei segni.

Il segno di un polinomio

Molte domande su una funzione si riducono a sapere dove un’espressione è positiva, negativa o nulla: il dominio di una radice quadrata esige un radicando non negativo, una disequazione chiede dove un’espressione è positiva, e il grafico di una funzione sta al di sopra dell’asse delle xx esattamente dove la funzione è positiva. Lo strumento che risponde a questa domanda è la tabella dei segni, e la sua materia prima è la scomposizione studiata nella lezione sulla scomposizione dei trinomi di secondo grado.

Il segno di un fattore lineare

Un fattore lineare ax+bax + b, con a≠0a \neq 0, si annulla solo in x=−bax = -\frac{b}{a} e ha segno costante da ciascun lato di quel punto. Se a>0a > 0, è negativo a sinistra e positivo a destra; se a<0a < 0, il contrario. Per esempio, x−3x - 3 è positivo esattamente quando x>3x > 3, e 2−x2 - x esattamente quando x<2x < 2:

x−3>0↔x>3,2−x>0↔x<2x - 3 > 0 \leftrightarrow x > 3, \qquad 2 - x > 0 \leftrightarrow x < 2
LemmaSegno di un fattore lineare

Sia ax+bax + b un polinomio di grado 11, con radice r=−bar = -\frac{b}{a}. Se a>0a > 0, allora ax+bax + b è positivo esattamente quando x>rx > r e negativo esattamente quando x<rx < r; se a<0a < 0, è positivo esattamente quando x<rx < r e negativo esattamente quando x>rx > r.

Si usano le regole per operare con le disuguaglianze, dimostrate nella lezione sulla retta reale, e il lemma del segno di un prodotto della lezione sulle funzioni algebriche.

Dimostrazione

  1. ax+b=a(x+ba)=a (x−r)ax + b = a\left( x + \frac{b}{a} \right) = \dato{f}{a \, \resaltar{(x - r)}}

    Raccogliamo aa a fattor comune: il fattore lineare è aa per la differenza x−rx - r, che è positiva esattamente quando x>rx > r, nulla in rr e negativa esattamente quando x<rx < r.

  2. a>0→(ax+b>0↔x>r)a > 0 \rightarrow \left( ax + b > 0 \leftrightarrow \resaltar{x > r} \right)

    Per il lemma del segno di un prodotto, a(x−r)a(x - r) è positivo esattamente quando aa e x−rx - r hanno lo stesso segno. Se a>0a > 0, ciò accade esattamente quando x>rx > r.

  3. a<0→(ax+b>0↔x<r)a < 0 \rightarrow \left( ax + b > 0 \leftrightarrow \resaltar{x < r} \right)

    Se a<0a < 0, il prodotto è positivo esattamente quando x−rx - r è negativo, cioè quando x<rx < r; e in entrambi i casi il prodotto è negativo esattamente quando i segni sono opposti.

La tabella dei segni di un prodotto

Supponiamo che un polinomio sia scritto come prodotto di fattori lineari. I numeri in cui si annulla qualche fattore si chiamano punti critici; ordinati dal minore al maggiore, dividono la retta reale in intervalli aperti. Ora, ciascuno di questi intervalli sta interamente da uno stesso lato della radice di ogni fattore, cosicché, per il lemma del segno di un fattore lineare, nessun fattore cambia segno al suo interno; ne segue che anche il prodotto ha segno costante in ogni intervallo. Quel segno è dato dalla regola dei segni, che estende a nn fattori il lemma del segno di un prodotto di due fattori, dimostrato nella lezione sulle funzioni algebriche. L’estensione si dimostra per induzione, come nella lezione su sommatorie, progressioni e induzione.

LemmaRegola dei segni

Un prodotto di nn fattori reali non nulli è diverso da zero; è negativo se il numero dei suoi fattori negativi è dispari, e positivo se è pari.

Siano c1,c2,…,cnc_1, c_2, \ldots, c_n numeri reali non nulli e Πn=c1c2⋯cn\Pi_n = c_1 c_2 \cdots c_n il loro prodotto. Si ragiona per induzione sul numero nn dei fattori. La figura mostra i fattori in fila e, sotto ciascuno, il segno del prodotto accumulato fino a esso.

Dimostrazione

  1. c>0→(p⋅c>0↔p>0),c<0→(p⋅c>0↔p<0)\dato{pos}{c > 0 \rightarrow (p \cdot c > 0 \leftrightarrow p > 0)}, \quad \dato{neg}{c < 0 \rightarrow (p \cdot c > 0 \leftrightarrow p < 0)}

    Per il lemma del segno di un prodotto di due fattori, il prodotto di un reale non nullo pp per un reale non nullo cc non è nullo; se cc è positivo, ha il segno di pp, e se cc è negativo, il segno contrario.

  2. Π1=c1\Pi_1 = c_1

    Caso base: se n=1n = 1, il prodotto è il fattore stesso, che è negativo esattamente quando c’è un fattore negativo, e 11 è dispari.

  3. Πn+1=Πn⋅cn+1\dato{h}{\Pi_{n + 1} = \Pi_n \cdot c_{n + 1}}

    Ipotesi induttiva: Πn\Pi_n è negativo se il numero knk_n dei suoi fattori negativi è dispari, e positivo se è pari. Aggiungiamo un fattore.

  4. cn+1>0→kn+1=knc_{n + 1} > 0 \rightarrow \resaltar{k_{n + 1} = k_n}

    Se cn+1c_{n + 1} è positivo, il segno del prodotto non cambia, e il numero dei fattori negativi non cambia: la regola vale per n+1n + 1 fattori.

  5. cn+1<0→kn+1=kn+1c_{n + 1} < 0 \rightarrow \resaltar{k_{n + 1} = k_n + 1}

    Se cn+1c_{n + 1} è negativo, il segno si inverte e il numero dei fattori negativi aumenta di uno, il che ne cambia la parità. Anche in questo caso la regola vale e, per il principio di induzione, vale per ogni nn.

La tabella dei segni organizza questo ragionamento. Le sue colonne sono gli intervalli determinati dai punti critici; ha una riga per ogni fattore e un’ultima riga per il prodotto, che si ottiene colonna per colonna con la regola dei segni. In ogni punto critico si scrive uno 00 nelle righe dei fattori che si annullano, e anche in quella del prodotto.

EsempioLa tabella dei segni di un prodotto

Determinare il segno del polinomio P(x)=(x+2)(x−1)(x−3)P(x) = (x + 2)(x - 1)(x - 3) in ogni punto della retta reale.

Dimostrazione

  1. P(x)=0↔x=−2∨x=1∨x=3P(x) = 0 \leftrightarrow x = -2 \vee x = 1 \vee x = 3

    I punti critici sono le radici dei tre fattori. Dividono la retta in quattro intervalli, che sono le colonne della tabella.

  2. x+2>0↔x>−2x + 2 > 0 \leftrightarrow x > -2

    Il fattore x+2x + 2 si annulla in −2-2; è negativo a sinistra di quel punto e positivo a destra.

  3. x−1>0↔x>1x - 1 > 0 \leftrightarrow x > 1

    Il fattore x−1x - 1 cambia segno in 11.

  4. x−3>0↔x>3x - 3 > 0 \leftrightarrow x > 3

    Il fattore x−3x - 3 cambia segno in 33.

  5. P(x)<0↔x<−2∨1<x<3P(x) < 0 \leftrightarrow x < -2 \vee 1 < x < 3

    In ogni colonna contiamo i fattori negativi: tre, due, uno e nessuno. Il prodotto è negativo quando il loro numero è dispari.

  6. P(x)>0↔−2<x<1∨x>3P(x) > 0 \leftrightarrow -2 < x < 1 \vee x > 3

    Nelle altre colonne il prodotto è positivo, e si annulla nei tre punti critici. Il grafico lo conferma: la curva sta sopra l’asse esattamente in quegli intervalli, e lo attraversa in ogni punto critico.

Molteplicità e fattori irriducibili

Non ogni polinomio si scompone in fattori lineari distinti. Come si è visto nella lezione sulle radici dei polinomi di grado superiore, rr è una radice di molteplicità kk quando il polinomio è (x−r)k(x - r)^k per un altro polinomio che non si annulla in rr, e questa molteplicità si determina con la divisione sintetica ripetuta; nella tabella, il fattore corrispondente è (x−r)k(x - r)^k. D’altro canto, per il teorema del segno del discriminante, dimostrato nella lezione sulla scomposizione dei trinomi di secondo grado, un fattore quadratico ax2+bx+cax^2 + bx + c con discriminante negativo è irriducibile e non ha radici reali. La proposizione seguente dice quale ruolo svolge ciascuno di essi nella tabella.

ProposizioneSegno e molteplicità

Il segno di un polinomio scomposto cambia nell’attraversare un punto critico se e solo se la molteplicità di quella radice è dispari. I fattori quadratici irriducibili hanno segno costante, quello del loro coefficiente direttivo, e possono essere soppressi da una disequazione quando sono positivi, perché dividere per un numero positivo conserva la disuguaglianza.

Sia rr una radice di molteplicità kk del polinomio PP. La figura segue la dimostrazione con r=1r = 1 e il cofattore x+2x + 2, e alla fine con il fattore irriducibile x2+x+1x^2 + x + 1.

Dimostrazione

  1. P(x)=(x−r)kC(x),C(r)≠0\dato{p}{P(x) = \resaltar{(x - r)^k} C(x), \quad C(r) \neq 0}

    Scriviamo PP separando il fattore di rr. Tra rr e il punto critico di CC più vicino, nessun fattore di CC si annulla, e per la regola dei segni CC ha segno costante da entrambi i lati di rr.

  2. k=2j→(x−r)k=((x−r)j)2>0,x≠rk = 2j \rightarrow (x - r)^k = \resaltar{\left( (x - r)^j \right)^2} > 0, \quad x \neq r

    Se kk è pari, (x−r)k(x - r)^k è il quadrato di un numero non nullo da entrambi i lati di rr, ed è positivo: PP ha lì il segno di CC, che non cambia.

  3. k=2j+1→(x−r)k=(x−r)((x−r)j)2k = 2j + 1 \rightarrow (x - r)^k = \resaltar{(x - r)} \left( (x - r)^j \right)^2

    Se kk è dispari, (x−r)k(x - r)^k è x−rx - r per un quadrato positivo, e ha il segno di x−rx - r, che cambia in rr: per la regola dei segni, PP cambia segno nell’attraversare rr.

  4. ax2+bx+c=a((x+b2a)2+4ac−b24a2)ax^2 + bx + c = a \resaltar{\left( \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a^2} \right)}

    Se b2−4ac<0b^2 - 4ac < 0, nella forma completata la parentesi quadra è un quadrato più un numero positivo: il fattore ha sempre il segno di aa, non fornisce punti critici e, se a>0a > 0, dividere per esso conserva il verso di una disuguaglianza.

EsempioUna radice doppia e un fattore irriducibile

Determinare dove è positivo e dove è non negativo il polinomio Q(x)=(x+1)2(2−x)(x2+x+1)Q(x) = (x + 1)^2 (2 - x)(x^2 + x + 1).

Dimostrazione

  1. Δ=12−4⋅1⋅1=−3<0\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0

    I punti critici sono −1-1, radice doppia, e 22. Il fattore quadratico non ne fornisce nessuno, perché il suo discriminante è negativo.

  2. (x+1)2>0↔x≠−1(x + 1)^2 > 0 \leftrightarrow x \neq -1

    Il fattore (x+1)2(x + 1)^2 è un quadrato: si annulla in −1-1 ed è positivo da entrambi i lati.

  3. 2−x>0↔x<22 - x > 0 \leftrightarrow x < 2

    Il fattore 2−x2 - x ha coefficiente direttivo negativo: è positivo a sinistra di 22.

  4. x2+x+1=(x+12)2+34>0x^2 + x + 1 = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0

    Il fattore irriducibile è positivo in tutte le colonne, come mostra il quadrato completato.

  5. Q(x)≥0↔x≤2Q(x) \geq 0 \leftrightarrow x \leq 2

    Con la regola dei segni si ottiene la riga di QQ: il segno non cambia in −1-1, radice di molteplicità pari, e cambia in 22. La disuguaglianza non stretta include i due zeri.

  6. Q(x)>0↔x<2∧x≠−1Q(x) > 0 \leftrightarrow x < 2 \wedge x \neq -1

    La disuguaglianza stretta esclude gli zeri di QQ, anche quello in −1-1, benché da entrambi i lati di esso il polinomio sia positivo.