La retta reale: ordine, intervalli e valore assoluto

Riepilogo

Questa lezione studia i numeri reali come punti di una retta. Deduce da tre assiomi le regole per operare con le disuguaglianze, dimostra con la proprietà archimedea che i razionali sono densi nella retta, dimostra con la completezza che ogni reale non negativo ha una radice $n$ -esima, definisce gli intervalli e li caratterizza come gli insiemi senza lacune, e introduce il valore assoluto come misura della distanza, con il suo lemma fondamentale sulle disuguaglianze e la disuguaglianza triangolare. I problemi applicano questi strumenti a limitare prodotti, risolvere equazioni e disequazioni con valori assoluti, controllare l’errore di un’approssimazione e minimizzare una somma di distanze.

Obiettivi di apprendimento

Dedurre dagli assiomi dell’ordine le regole per sommare, moltiplicare e invertire le disuguaglianze, e applicarle senza moltiplicare per numeri di segno sconosciuto.
Applicare la proprietà archimedea e dimostrare con essa che tra due reali distinti c’è sempre un razionale.
Descrivere insiemi di numeri reali mediante intervalli, operare con essi e riconoscere quando un insieme è un intervallo.
Interpretare il valore assoluto come distanza, tradurre in intervalli condizioni con valori assoluti e applicare la disuguaglianza triangolare.

La retta reale

Su una retta si scelgono due punti: uno rappresenta lo $0$ e un altro, situato alla sua destra, l’ $1$ . La lunghezza del segmento che li unisce fa da unità di misura, e a ogni numero reale $x$ corrisponde un punto: se $x$ è positivo, quello situato a destra dell’origine a distanza $x$ ; se è negativo, quello situato a sinistra a distanza $-x$ . I razionali occupano punti che si costruiscono con riga e compasso, e la loro rappresentazione decimale, studiata nella lezione sulla rappresentazione decimale dei numeri razionali, indica in quale suddivisione decimale dell’unità cade ciascuno di essi. Ora, nella lezione sugli insiemi numerici si è visto che i razionali lasciano lacune, come quella che occupa $\sqrt{2}$ , e si è ammesso che i reali formano un campo ordinato completo, il cui assioma di completezza colma tali lacune. Per questo si ammette che la corrispondenza tra reali e punti è biunivoca: a ogni reale corrisponde un punto e a ogni punto un reale. Questa identificazione non si dimostra, perché la retta della geometria non è definita qui indipendentemente dai numeri; è la lettura geometrica della completezza, e si chiama retta reale.

Gli assiomi dell’ordine

La relazione «stare a sinistra di» si traduce nella relazione d’ordine tra reali, che si definisce a partire dall’insieme dei numeri positivi. Tra gli assiomi che la lezione sugli insiemi numerici ammette per i reali, insieme a quelli di campo e a quello di completezza, quelli d’ordine riguardano tale insieme, ed è opportuno ricordarli:

Tricotomia: per ogni reale $x$ vale esattamente una delle tre affermazioni $x > 0$ , $x = 0$ o $-x > 0$ .
La somma di due positivi è positiva.
Il prodotto di due positivi è positivo.

Un reale $x$ è negativo se $-x$ è positivo. Si scrive $x < y$ , o $y > x$ , quando la differenza $y - x$ è positiva, e $x \leq y$ quando $x < y$ o $x = y$ . Applicata a $y - x$ , la tricotomia dice che per due reali qualsiasi vale esattamente una delle affermazioni $x < y$ , $x = y$ o $y < x$ : due punti distinti della retta stanno sempre uno a sinistra dell’altro. Inoltre, nel problema risolto 5 della stessa lezione si è dimostrato, solo con questi assiomi e la regola dei segni, che il quadrato di ogni reale non nullo è positivo; in particolare, $1 = 1^2 > 0$ . Le regole per operare con le disuguaglianze sono conseguenza di questi assiomi e di quelli di campo; la lezione sugli insiemi numerici le ha dedotte nel suo lemma sulle regole dell’ordine, e qui si raccolgono e si interpretano sulla retta.

TeoremaLe proprietà dell’ordine

Per tutti i reali $x$ , $y$ e $z$ : se $x < y$ e $y < z$ , allora $x < z$ ; se $x < y$ , allora $x + z < y + z$ ; se $x < y$ e $z > 0$ , allora $xz < yz$ ; se $x < y$ e $z < 0$ , allora $xz > yz$ ; se $x > 0$ , il suo inverso è positivo; e se $0 < x < y$ , allora $0 < \frac{1}{y} < \frac{1}{x}$ . Ogni affermazione si riduce a decidere il segno di una differenza, come nella lezione sui numeri interi, dove queste regole sono state dimostrate per gli interi; la dimostrazione, che ripete quella della lezione sugli insiemi numerici, si deduce solo dagli assiomi, e le regole valgono quindi per tutti i reali. La figura rappresenta ogni proprietà sulla retta: traslare conserva l’ordine di due punti, dilatare a partire dall’origine anche, e riflettere o invertire lo inverte.

Dimostrazione

$z - x = \resaltar{(z - y) + (y - x)} > 0$
Transitività: se $x < y$ e $y < z$ , le differenze $y - x$ e $z - y$ sono positive, e per il secondo assioma lo è anche la loro somma, che è $z - x$ .
$(y + z) - (x + z) = \resaltar{y - x} > 0$
Compatibilità con la somma: sommare lo stesso numero $z$ a entrambi i membri non altera la differenza.
$\dato{pos}{yz - xz = \resaltar{(y - x) z} > 0}$
Prodotto per un positivo: se $z > 0$ , la differenza $yz - xz$ è il prodotto di due positivi, ed è positiva per il terzo assioma.
$\dato{neg}{xz - yz = (y - x)\resaltar{(-z)} > 0}$
Prodotto per un negativo: se $z < 0$ , il suo opposto $-z$ è positivo, e il passo precedente, applicato a $-z$ , dà una differenza positiva nell’ordine contrario.
$\dato{inv}{x > 0 \rightarrow \frac{1}{x} > 0}$
Segno dell’inverso: sia $x > 0$ . Se il suo inverso fosse negativo, moltiplicando $0 < x$ per esso la disuguaglianza si invertirebbe, e risulterebbe $0 > 1$ , il che è falso; e l’inverso non è nullo, perché il suo prodotto per $x$ vale $1$ .
$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \resaltar{\frac{y - x}{xy}} > 0$
Inversi: se $0 < x < y$ , la differenza degli inversi è il prodotto di $y - x$ per l’inverso di $xy$ , entrambi positivi. Passare agli inversi di due positivi ne inverte l’ordine.

Da queste regole seguono altre che si usano di continuo. Due disuguaglianze dello stesso verso si possono sommare: se $a < b$ e $c < d$ , allora $a + c < b + c < b + d$ . Due disuguaglianze tra numeri non negativi si possono moltiplicare: se $0 \leq a \leq b$ e $0 \leq c \leq d$ , allora $ac \leq bc \leq bd$ . Invece non si possono sottrarre né dividere membro a membro, e non si possono moltiplicare se qualche membro è negativo, come mostra il problema risolto 1. Infine, tra numeri non negativi elevare al quadrato conserva l’ordine e lo riflette, come si è dimostrato nella lezione sugli insiemi numerici per le potenze:

0 \leq p \wedge 0 \leq q \rightarrow \left(p < q \leftrightarrow p^2 < q^2\right)

La densità dei razionali nella retta

L’assioma di completezza, enunciato nella lezione sugli insiemi numerici, afferma che ogni insieme non vuoto di reali limitato superiormente ha un estremo superiore, cioè un minimo maggiorante. Nella lezione sulla rappresentazione decimale dei numeri razionali se ne è dedotta la proprietà archimedea: per ogni reale esiste un naturale maggiore di esso, così che i punti $1, 2, 3, \ldots$ avanzano lungo la retta senza alcun limite. Ne segue una forma che si usa spesso: se $h > 0$ e $x$ è un reale qualsiasi, esiste un naturale $n$ maggiore di $\frac{x}{h}$ , e moltiplicando per $h$ , che è positivo, risulta $nh > x$ . Geometricamente, un segmento, per quanto piccolo, ripetuto un numero sufficiente di volte, supera qualsiasi altro; così la usava Archimede, da cui prende il nome.

h > 0 \rightarrow (\forall x \in \mathbb{R})(\exists n \in \mathbb{N})(nh > x)

Nella lezione sui numeri razionali si è dimostrato che tra due razionali distinti ci sono infiniti razionali. Con la proprietà archimedea si può dimostrare qualcosa di più forte, il fatto che la lezione sugli insiemi numerici aveva lasciato ammesso: i razionali sono distribuiti su tutta la retta reale, senza che vi sia alcun intervallo, per quanto corto, che non ne contenga uno.

TeoremaDensità dei razionali nella retta reale

Tra due reali distinti c’è sempre un numero razionale: se $x < y$ , esiste un razionale $q$ tale che $x < q < y$ . L’idea è ampliare l’intervallo tra $x$ e $y$ finché la sua lunghezza superi $1$ , così che contenga un intero, e poi ridurlo. La figura mostra l’intervallo originale in alto e quello ampliato in basso.

Dimostrazione

$\dato{n}{ny > nx + 1}$
Per la proprietà archimedea, applicata a $h = y - x > 0$ , esiste un naturale $n$ tale che $n(y - x) > 1$ : ampliato $n$ volte, l’intervallo misura più dell’unità.
$\dato{m}{m - 1 \leq nx < m}$
Sia $m$ il minimo intero maggiore di $nx$ . Esiste: per la proprietà archimedea c’è un naturale $k$ con $k > -nx$ , così che $nx + k > 0$ ; l’insieme dei naturali maggiori di $nx + k$ non è vuoto, di nuovo per la proprietà archimedea, e per il principio del buon ordinamento ha un minimo elemento $j$ . L’intero $m = j - k$ è maggiore di $nx$ , e $m - 1$ non lo è, perché $j - 1$ è nullo oppure è un naturale che non supera $nx + k$ .
$nx < m \leq \resaltar{nx + 1} < ny$
Sommando $1$ alla prima disuguaglianza e combinandola con quella del primo passo, l’intero $m$ risulta strettamente compreso tra $nx$ e $ny$ .
$x < \resaltar{\frac{m}{n}} < y$
Dividendo per $n$ , che è positivo, le disuguaglianze si conservano: il quoziente di $m$ per $n$ , che è razionale, è compreso tra $x$ e $y$ .

Applicato di nuovo all’intervallo tra $x$ e il razionale ottenuto, il teorema dà un altro razionale, e così via: tra due reali distinti ci sono infiniti razionali. Lo stesso accade con gli irrazionali, come si chiede di dimostrare nel problema proposto 4. Razionali e irrazionali sono quindi mescolati su tutta la retta, benché le loro rappresentazioni decimali siano di natura così diversa.

L’esistenza delle radici

Nella lezione sugli insiemi numerici si è definita la radice $n$ -esima principale di un reale non negativo $a$ come l’unico reale non negativo la cui potenza $n$ -esima è $a$ ; lì si è dimostrata l’unicità e si è lasciata ammessa l’esistenza, perché la sua prova richiede un argomento con gli estremi superiori. Con la completezza e le regole dell’ordine si può ora dare tale argomento. Si usa una maggiorazione della differenza di due potenze: se $0 \leq c \leq b$ , svolgendo il prodotto seguente i termini intermedi si cancellano, come nella somma di una progressione geometrica, e ciascuno degli $n$ addendi del secondo fattore è al più $b^{n - 1}$ .

b^n - c^n = (b - c)\left(b^{n - 1} + b^{n - 2} c + \cdots + c^{n - 1}\right) \leq (b - c) \cdot n b^{n - 1}

TeoremaEsistenza della radice

n

-esima

Sia $n \geq 2$ un naturale. Per ogni reale $a \geq 0$ esiste un reale $s \geq 0$ tale che $s^n = a$ . Se $a = 0$ , basta prendere $s = 0$ ; in ciò che segue, $a > 0$ . La radice cercata si ottiene come l’estremo superiore dei numeri non negativi la cui potenza $n$ -esima non supera $a$ , e si escludono separatamente le due disuguaglianze strette. La figura disegna la curva $y = x^n$ e la retta di altezza $a$ : l’insieme $S$ è l’intervallo dell’asse sotto la parte della curva che non sale sopra la retta, e ogni supposizione falsa su $s$ si confuta con un punto che cade dal lato sbagliato.

Dimostrazione

$x > 1 + a \rightarrow x^n \geq x > a$
L’insieme $S$ dei reali non negativi la cui potenza $n$ -esima non supera $a$ contiene lo $0$ . È limitato da $1 + a$ : se $x > 1 + a$ , allora $x > 1$ , e la sua potenza è almeno $x$ , che già supera $a$ .
$\dato{s}{x \in S \rightarrow x \leq s}$
Per la completezza, $S$ ha un estremo superiore $s$ , che è non negativo perché $0$ appartiene a $S$ .
$\dato{h}{h = \frac{a - s^n}{a + n(s + 1)^{n - 1}}}$
Supponiamo che $s^n < a$ . Prendiamo un numero $h$ positivo e minore di $1$ , perché il suo numeratore è minore del suo denominatore.
$(s + h)^n - s^n \leq h \cdot n(s + 1)^{n - 1} \leq \resaltar{a - s^n}$
Per la maggiorazione della differenza di potenze, con $b = s + h \leq s + 1$ e $c = s$ , la potenza di $s + h$ non supera $a$ ; quindi $s + h$ appartiene a $S$ ed è maggiore del suo estremo superiore, il che è impossibile.
$\dato{k}{h = \frac{s^n - a}{n s^{n - 1}}}$
Supponiamo che $s^n > a$ . Allora $s > 0$ , e prendiamo un altro numero $h$ , positivo e minore di $s$ , perché $h \cdot n s^{n - 1} = s^n - a < s^n \leq n s^n$ .
$s^n - (s - h)^n \leq h \cdot n s^{n - 1} = \resaltar{s^n - a}$
Con $b = s$ e $c = s - h$ , la maggiorazione dà che la potenza di $s - h$ è almeno $a$ .
$x \in S \rightarrow x \leq s - h < s$
Se un $x$ di $S$ fosse maggiore di $s - h$ , per la conservazione dell’ordine delle potenze si avrebbe $x^n > (s - h)^n \geq a$ , contro la definizione di $S$ . Così $s - h$ sarebbe un maggiorante di $S$ minore di $s$ , il che è impossibile.
$s^n = a$
Per la tricotomia resta solo l’uguaglianza: $s$ è la radice $n$ -esima principale di $a$ , unica per quanto dimostrato nella lezione sugli insiemi numerici.

Con questo teorema e la densità dei razionali si completa anche l’identificazione che la lezione sugli insiemi numerici aveva lasciato ammessa: l’estremo superiore dell’insieme $A$ dei razionali il cui quadrato è minore di $2$ è $\sqrt{2}$ . Infatti $\sqrt{2}$ è un maggiorante di $A$ , perché se un razionale $x$ fosse maggiore di $\sqrt{2}$ , sarebbe positivo e il suo quadrato supererebbe $2$ . E nessun maggiorante minore va bene: se $u < \sqrt{2}$ , la densità, applicata all’intervallo che va dal maggiore dei numeri $u$ e $0$ fino a $\sqrt{2}$ , dà un razionale $q$ con $0 < q < \sqrt{2}$ e $u < q$ ; il suo quadrato è minore di $2$ , perché tra non negativi le potenze conservano l’ordine, così che $q$ appartiene ad $A$ e supera $u$ .