A reta real: ordem, intervalos e valor absoluto

Resumo

Esta aula estuda os números reais como pontos de uma reta. Deduz de três axiomas as regras para operar com desigualdades, demonstra com a propriedade arquimediana que os racionais são densos na reta, demonstra com a completude que todo real não negativo tem raiz $n$ -ésima, define os intervalos e os caracteriza como os conjuntos sem lacunas, e introduz o valor absoluto como medida da distância, com seu lema fundamental sobre as desigualdades e a desigualdade triangular. Os problemas aplicam essas ferramentas a limitar produtos, resolver equações e inequações com valores absolutos, controlar o erro de uma aproximação e minimizar uma soma de distâncias.

Objetivos de aprendizagem

Deduzir dos axiomas da ordem as regras para somar, multiplicar e inverter desigualdades, e aplicá-las sem multiplicar por números de sinal desconhecido.
Aplicar a propriedade arquimediana e demonstrar com ela que entre dois reais distintos há sempre um racional.
Descrever conjuntos de números reais por meio de intervalos, operar com eles e reconhecer quando um conjunto é um intervalo.
Interpretar o valor absoluto como distância, traduzir condições com valores absolutos em intervalos e aplicar a desigualdade triangular.

A reta real

Sobre uma reta escolhem-se dois pontos: um representa o $0$ e outro, situado à sua direita, o $1$ . O comprimento do segmento que os une serve de unidade, e a cada número real $x$ corresponde um ponto: se $x$ é positivo, o situado à direita da origem a distância $x$ ; se é negativo, o situado à esquerda a distância $-x$ . Os racionais ocupam pontos que se constroem com régua e compasso, e sua representação decimal, estudada na aula sobre a representação decimal dos números racionais, indica em que subdivisão decimal da unidade cai cada um. Ora, na aula sobre os conjuntos numéricos viu-se que os racionais deixam lacunas, como a que ocupa $\sqrt{2}$ , e admitiu-se que os reais formam um corpo ordenado completo, cujo axioma de completude as preenche. Por isso se admite que a correspondência entre reais e pontos é bijetiva: a cada real corresponde um ponto e a cada ponto, um real. Essa identificação não se demonstra, porque a reta da geometria não está definida aqui independentemente dos números; é a leitura geométrica da completude, e chama-se reta real.

Os axiomas da ordem

A relação “estar à esquerda de” traduz-se na relação de ordem entre reais, que se define a partir do conjunto dos números positivos. Entre os axiomas que a aula sobre os conjuntos numéricos admite para os reais, junto com os de corpo e o de completude, os de ordem referem-se a esse conjunto, e convém recordá-los:

Tricotomia: para cada real $x$ cumpre-se exatamente uma das três afirmações $x > 0$ , $x = 0$ ou $-x > 0$ .
A soma de dois positivos é positiva.
O produto de dois positivos é positivo.

Um real $x$ é negativo se $-x$ é positivo. Escreve-se $x < y$ , ou $y > x$ , quando a diferença $y - x$ é positiva, e $x \leq y$ quando $x < y$ ou $x = y$ . Aplicada a $y - x$ , a tricotomia diz que para dois reais quaisquer cumpre-se exatamente uma das afirmações $x < y$ , $x = y$ ou $y < x$ : dois pontos distintos da reta estão sempre um à esquerda do outro. Além disso, no problema resolvido 5 da mesma aula demonstrou-se, só com esses axiomas e a regra dos sinais, que o quadrado de todo real não nulo é positivo; em particular, $1 = 1^2 > 0$ . As regras para operar com desigualdades são consequência desses axiomas e dos de corpo; a aula sobre os conjuntos numéricos deduziu-as em seu lema das regras da ordem, e aqui são reunidas e interpretadas sobre a reta.

TeoremaAs propriedades da ordem

Para todos os reais $x$ , $y$ e $z$ : se $x < y$ e $y < z$ , então $x < z$ ; se $x < y$ , então $x + z < y + z$ ; se $x < y$ e $z > 0$ , então $xz < yz$ ; se $x < y$ e $z < 0$ , então $xz > yz$ ; se $x > 0$ , seu inverso é positivo; e se $0 < x < y$ , então $0 < \frac{1}{y} < \frac{1}{x}$ . Cada afirmação reduz-se a decidir o sinal de uma diferença, como na aula sobre os números inteiros, onde essas regras foram demonstradas para os inteiros; a demonstração, que repete a da aula sobre os conjuntos numéricos, deduz-se apenas dos axiomas, e as regras valem, portanto, para todos os reais. A figura representa cada propriedade sobre a reta: transladar conserva a ordem de dois pontos, dilatar a partir da origem também, e refletir ou inverter a inverte.

Demonstração

$z - x = \resaltar{(z - y) + (y - x)} > 0$
Transitividade: se $x < y$ e $y < z$ , as diferenças $y - x$ e $z - y$ são positivas, e pelo segundo axioma também sua soma, que é $z - x$ .
$(y + z) - (x + z) = \resaltar{y - x} > 0$
Compatibilidade com a soma: somar o mesmo número $z$ a ambos os membros não altera a diferença.
$\dato{pos}{yz - xz = \resaltar{(y - x) z} > 0}$
Produto por um positivo: se $z > 0$ , a diferença $yz - xz$ é o produto de dois positivos, e é positiva pelo terceiro axioma.
$\dato{neg}{xz - yz = (y - x)\resaltar{(-z)} > 0}$
Produto por um negativo: se $z < 0$ , seu oposto $-z$ é positivo, e o passo anterior, aplicado a $-z$ , dá uma diferença positiva na ordem contrária.
$\dato{inv}{x > 0 \rightarrow \frac{1}{x} > 0}$
Sinal do inverso: seja $x > 0$ . Se seu inverso fosse negativo, ao multiplicar $0 < x$ por ele a desigualdade se inverteria, e resultaria $0 > 1$ , o que é falso; e o inverso não é nulo, porque seu produto por $x$ vale $1$ .
$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \resaltar{\frac{y - x}{xy}} > 0$
Inversos: se $0 < x < y$ , a diferença dos inversos é o produto de $y - x$ pelo inverso de $xy$ , ambos positivos. Tomar inversos de dois positivos inverte sua ordem.

Dessas regras seguem-se outras que se usam constantemente. Duas desigualdades do mesmo sentido podem ser somadas: se $a < b$ e $c < d$ , então $a + c < b + c < b + d$ . Duas desigualdades entre números não negativos podem ser multiplicadas: se $0 \leq a \leq b$ e $0 \leq c \leq d$ , então $ac \leq bc \leq bd$ . Em compensação, não podem ser subtraídas nem divididas membro a membro, e não podem ser multiplicadas se algum membro é negativo, como mostra o problema resolvido 1. Por último, entre números não negativos elevar ao quadrado conserva a ordem e a reflete, como se demonstrou na aula sobre os conjuntos numéricos para as potências:

0 \leq p \wedge 0 \leq q \rightarrow \left(p < q \leftrightarrow p^2 < q^2\right)

A densidade dos racionais na reta

O axioma de completude, enunciado na aula sobre os conjuntos numéricos, afirma que todo conjunto não vazio de reais limitado superiormente tem um supremo, isto é, uma menor cota superior. Na aula sobre a representação decimal dos números racionais deduziu-se dele a propriedade arquimediana: para todo real existe um natural maior que ele, de modo que os pontos $1, 2, 3, \ldots$ avançam pela reta sem cota alguma. Disso se segue uma forma que se usa com frequência: se $h > 0$ e $x$ é qualquer real, existe um natural $n$ maior que $\frac{x}{h}$ , e ao multiplicar por $h$ , que é positivo, resulta $nh > x$ . Geometricamente, um segmento, por menor que seja, repetido vezes suficientes, supera qualquer outro; assim a usou Arquimedes, de quem recebe o nome.

h > 0 \rightarrow (\forall x \in \mathbb{R})(\exists n \in \mathbb{N})(nh > x)

Na aula sobre os números racionais demonstrou-se que entre dois racionais distintos há infinitos racionais. Com a propriedade arquimediana pode-se demonstrar algo mais forte, o fato que a aula sobre os conjuntos numéricos deixou admitido: os racionais estão espalhados por toda a reta real, sem que haja intervalo algum, por mais curto que seja, que não contenha um.

TeoremaDensidade dos racionais na reta real

Entre dois reais distintos há sempre um número racional: se $x < y$ , existe um racional $q$ tal que $x < q < y$ . A ideia é ampliar o intervalo entre $x$ e $y$ até que seu comprimento supere $1$ , de modo que contenha um inteiro, e depois reduzi-lo. A figura mostra o intervalo original em cima e o ampliado embaixo.

Demonstração

$\dato{n}{ny > nx + 1}$
Pela propriedade arquimediana, aplicada a $h = y - x > 0$ , existe um natural $n$ tal que $n(y - x) > 1$ : ampliado $n$ vezes, o intervalo mede mais que a unidade.
$\dato{m}{m - 1 \leq nx < m}$
Seja $m$ o menor inteiro maior que $nx$ . Ele existe: pela propriedade arquimediana há um natural $k$ com $k > -nx$ , de modo que $nx + k > 0$ ; o conjunto dos naturais maiores que $nx + k$ não é vazio, de novo pela propriedade arquimediana, e pelo princípio da boa ordenação tem um menor elemento $j$ . O inteiro $m = j - k$ é maior que $nx$ , e $m - 1$ não o é, porque $j - 1$ é nulo ou é um natural que não supera $nx + k$ .
$nx < m \leq \resaltar{nx + 1} < ny$
Somando $1$ à primeira desigualdade e combinando-a com a do primeiro passo, o inteiro $m$ fica estritamente entre $nx$ e $ny$ .
$x < \resaltar{\frac{m}{n}} < y$
Dividindo por $n$ , que é positivo, as desigualdades se conservam: o quociente de $m$ por $n$ , que é racional, está entre $x$ e $y$ .

Aplicado de novo ao intervalo entre $x$ e o racional obtido, o teorema dá outro racional, e assim sucessivamente: entre dois reais distintos há infinitos racionais. O mesmo ocorre com os irracionais, como se pede demonstrar no problema proposto 4. Racionais e irracionais estão, portanto, entremeados em toda a reta, embora suas representações decimais sejam de natureza tão distinta.

A existência das raízes

Na aula sobre os conjuntos numéricos definiu-se a raiz $n$ -ésima principal de um real não negativo $a$ como o único real não negativo cuja potência $n$ -ésima é $a$ ; ali se demonstrou a unicidade e deixou-se admitida a existência, porque sua prova exige um argumento com supremos. Com a completude e as regras da ordem pode-se dar agora esse argumento. Usa-se uma cota para a diferença de duas potências: se $0 \leq c \leq b$ , ao distribuir o produto seguinte os termos intermediários se cancelam, como na soma de uma progressão geométrica, e cada uma das $n$ parcelas do segundo fator é no máximo $b^{n - 1}$ .

b^n - c^n = (b - c)\left(b^{n - 1} + b^{n - 2} c + \cdots + c^{n - 1}\right) \leq (b - c) \cdot n b^{n - 1}

TeoremaExistência da raiz

n

-ésima

Seja $n \geq 2$ um natural. Para todo real $a \geq 0$ existe um real $s \geq 0$ tal que $s^n = a$ . Se $a = 0$ , basta tomar $s = 0$ ; no que segue, $a > 0$ . A raiz procurada obtém-se como o supremo dos números não negativos cuja potência $n$ -ésima não supera $a$ , e descartam-se separadamente as duas desigualdades estritas. A figura desenha a curva $y = x^n$ e a reta de altura $a$ : o conjunto $S$ é o intervalo do eixo sob a parte da curva que não sobe acima da reta, e cada suposição falsa sobre $s$ é refutada com um ponto que fica do lado errado.

Demonstração

$x > 1 + a \rightarrow x^n \geq x > a$
O conjunto $S$ dos reais não negativos cuja potência $n$ -ésima não supera $a$ contém o $0$ . Está limitado por $1 + a$ : se $x > 1 + a$ , então $x > 1$ , e sua potência é pelo menos $x$ , que já supera $a$ .
$\dato{s}{x \in S \rightarrow x \leq s}$
Pela completude, $S$ tem um supremo $s$ , que é não negativo porque $0$ pertence a $S$ .
$\dato{h}{h = \frac{a - s^n}{a + n(s + 1)^{n - 1}}}$
Suponhamos que $s^n < a$ . Tomamos um número $h$ positivo e menor que $1$ , porque seu numerador é menor que seu denominador.
$(s + h)^n - s^n \leq h \cdot n(s + 1)^{n - 1} \leq \resaltar{a - s^n}$
Pela cota da diferença de potências, com $b = s + h \leq s + 1$ e $c = s$ , a potência de $s + h$ não supera $a$ ; de modo que $s + h$ pertence a $S$ e é maior que seu supremo, o que é impossível.
$\dato{k}{h = \frac{s^n - a}{n s^{n - 1}}}$
Suponhamos que $s^n > a$ . Então $s > 0$ , e tomamos outro número $h$ , positivo e menor que $s$ , porque $h \cdot n s^{n - 1} = s^n - a < s^n \leq n s^n$ .
$s^n - (s - h)^n \leq h \cdot n s^{n - 1} = \resaltar{s^n - a}$
Com $b = s$ e $c = s - h$ , a cota dá que a potência de $s - h$ é pelo menos $a$ .
$x \in S \rightarrow x \leq s - h < s$
Se um $x$ de $S$ fosse maior que $s - h$ , pela conservação da ordem das potências ter-se-ia $x^n > (s - h)^n \geq a$ , contra a definição de $S$ . Assim, $s - h$ seria uma cota superior de $S$ menor que $s$ , o que é impossível.
$s^n = a$
Pela tricotomia, resta apenas a igualdade: $s$ é a raiz $n$ -ésima principal de $a$ , única pelo que se demonstrou na aula sobre os conjuntos numéricos.

Com este teorema e a densidade dos racionais completa-se também a identificação que a aula sobre os conjuntos numéricos deixou admitida: o supremo do conjunto $A$ dos racionais cujo quadrado é menor que $2$ é $\sqrt{2}$ . De fato, $\sqrt{2}$ é cota superior de $A$ , porque se um racional $x$ fosse maior que $\sqrt{2}$ , seria positivo e seu quadrado superaria $2$ . E nenhuma cota menor serve: se $u < \sqrt{2}$ , a densidade, aplicada ao intervalo que vai do maior dos números $u$ e $0$ até $\sqrt{2}$ , dá um racional $q$ com $0 < q < \sqrt{2}$ e $u < q$ ; seu quadrado é menor que $2$ , porque entre não negativos as potências conservam a ordem, de modo que $q$ pertence a $A$ e supera $u$ .