Os números racionais: frações e suas operações

As frações e sua equivalência

Na aula sobre os conjuntos numéricos, os racionais foram apresentados como as frações de inteiros com denominador não nulo, e advertiu-se que a fração não pode ser definida como uma divisão, porque a divisão é justamente o que os inteiros não permitem. Esta aula realiza a construção que ali se anunciou. Seu ponto de partida são os inteiros da aula sobre os números inteiros, com sua soma, seu produto, sua ordem e uma propriedade que será usada a todo momento: o produto de dois inteiros não nulos não é nulo. Dela se segue que um fator não nulo pode ser cancelado, porque se $ab = ac$ com $a \neq 0$, então $a(b - c) = 0$, e portanto $b - c = 0$.

Definição (fração). Uma fração é um par ordenado $(p, q)$ de inteiros com $q \neq 0$, que se escreve $\frac{p}{q}$; o inteiro $p$ é seu numerador e $q$ seu denominador. Diz-se que $\frac{p}{q}$ e $\frac{r}{s}$ são frações equivalentes quando seus produtos cruzados coincidem, isto é, quando $ps = qr$.

Assim, $\frac{2}{3}$ e $\frac{4}{6}$ são equivalentes, porque $2 \cdot 6 = 3 \cdot 4$, enquanto $\frac{2}{3}$ e $\frac{3}{4}$ não o são, porque $2 \cdot 4 \neq 3 \cdot 3$. A definição não é arbitrária. Se as frações hão de ser quocientes, a igualdade $\frac{p}{q} = \frac{r}{s}$ deve equivaler, multiplicando ambos os membros por $qs$, à igualdade $ps = qr$; a definição toma como ponto de partida essa consequência, que só contém produtos de inteiros e, portanto, tem sentido antes que exista a divisão. Ora, para que a equivalência possa fazer as vezes de uma igualdade, deve comportar-se como ela: deve ser uma relação de equivalência, no sentido da aula sobre conjuntos, relações e funções.

Se isso é assim, valem para a equivalência de frações os resultados gerais da aula sobre conjuntos, relações e funções, que não é preciso repetir: pelo teorema sobre as equivalências e as partições, as classes de frações equivalentes formam uma partição do conjunto das frações, de modo que cada fração pertence a uma só classe e duas classes distintas não têm nenhuma fração em comum. Cada classe é um número.

Definição (número racional). Um número racional é a classe de equivalência de uma fração, isto é, o conjunto de todas as frações equivalentes a ela, e qualquer uma delas o representa; na notação da aula sobre conjuntos, relações e funções, o racional representado por $\frac{p}{q}$ é a classe $C\left( \frac{p}{q} \right)$, e aqui se escreve simplesmente $\frac{p}{q}$. O conjunto dos números racionais, que é o conjunto quociente das frações por sua equivalência, é denotado por $\mathbb{Q}$. Escreve-se $\frac{p}{q} = \frac{r}{s}$ quando ambas as frações representam o mesmo racional, isto é, quando são equivalentes, como afirma o lema sobre as classes de equivalência demonstrado ali.

Cada inteiro $p$ é identificado com o racional representado por $\frac{p}{1}$. A identificação não confunde inteiros distintos, porque $\frac{p}{1} = \frac{r}{1}$ equivale a $p \cdot 1 = 1 \cdot r$, isto é, a $p = r$; nesse sentido, $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$. Mais adiante se verificará que as operações dos racionais, aplicadas aos inteiros, dão as de sempre. A regra prática mais usada para mudar de fração sem mudar de número é a seguinte.