Os números inteiros: construção, sinais e ordem

A construção dos inteiros

Na aula sobre os conjuntos numéricos os inteiros foram apresentados como o conjunto que reúne os naturais, o zero e os opostos dos naturais, e foram enunciadas suas propriedades. Ora, enunciar essas propriedades não é demonstrá-las: enquanto não se disser o que é um número negativo, a regra dos sinais ou a compatibilidade da ordem com o produto são convenções, não teoremas. Esta aula constrói os inteiros com os únicos recursos dos axiomas de Peano e das operações com números naturais, e deduz da construção todas essas regras. Como no restante do curso, os naturais começam em $1$; o zero aparece pela primeira vez nesta construção.

A ideia é a seguinte. A equação $x + b = a$ tem solução natural só quando $b < a$, e essa solução é a diferença $a - b$. Se isto é assim, um número negativo pode ser concebido como uma subtração pendente, descrita pelo par de naturais $(a, b)$ que a produziria. Muitos pares descrevem a mesma subtração; por exemplo, $(5, 2)$, $(4, 1)$ e $(9, 6)$ descrevem o $3$, e $(2, 5)$ e $(1, 4)$ descrevem o que ainda não existe e será o $-3$. Dois pares $(a, b)$ e $(c, d)$ descrevem a mesma subtração quando $a - b = c - d$; esta condição usa subtrações que podem não existir, mas ao somar $b + d$ a ambos os membros converte-se numa igualdade entre naturais que sempre tem sentido:

Definição (pares equivalentes). Dois pares de naturais $(a, b)$ e $(c, d)$ são equivalentes, e escreve-se $(a, b) \sim (c, d)$, quando $a + d = b + c$.

Num quadriculado cujos pontos são os pares de naturais, com $a$ no eixo horizontal e $b$ no vertical, o par $(a + 1, b + 1)$ é equivalente a $(a, b)$, porque $a + (b + 1) = b + (a + 1)$; donde os pares equivalentes a um dado par se alinham sobre uma reta paralela à diagonal, na qual se avança uma posição para a direita e uma para cima. Para que esta relação sirva para identificar pares, deve comportar-se como uma igualdade: todo par é equivalente a si mesmo, a relação não depende da ordem em que se nomeiam os pares, e dois pares equivalentes a um terceiro são equivalentes entre si. Isto é, deve ser reflexiva, simétrica e transitiva: uma relação de equivalência, no sentido da aula sobre conjuntos, relações e funções, cujo exemplo sobre a relação que construirá os inteiros antecipava esta construção.

Os inteiros como classes de pares

Como a equivalência de pares é uma relação de equivalência, valem para ela os resultados gerais da aula sobre conjuntos, relações e funções, que não é preciso repetir. A classe do par $(a, b)$ é o conjunto de todos os pares de naturais equivalentes a $(a, b)$; na notação daquela aula seria $C((a, b))$, e aqui se escreve, mais brevemente, $C(a, b)$. Cada par da classe é um representante dela. No quadriculado, uma classe é o conjunto dos pontos de uma reta paralela à diagonal. Pelo lema sobre as classes de equivalência demonstrado ali, dois pares são equivalentes se e somente se suas classes são iguais, e duas classes com algum par comum coincidem; e, pelo teorema sobre as equivalências e as partições, as classes formam uma partição dos pares de naturais. Daí se segue a regra com que se comparam duas classes:

Definição (números inteiros). Um número inteiro é uma classe de pares de naturais. O conjunto dos inteiros denota-se por $\mathbb{Z}$; é o conjunto quociente dos pares de naturais pela equivalência de pares.

A definição pode parecer estranha, porque um número resulta ser um conjunto infinito de pares. Mas é o que já ocorre com as frações: $\frac{1}{2}$ e $\frac{2}{4}$ são escritas distintas de um mesmo número, e o que se define é aquilo que todas elas têm em comum. A classe $C(5, 2)$ será o $3$; a classe $C(2, 5)$, o $-3$; a classe $C(1, 1)$, o $0$. Antes de usar esses nomes é preciso definir as operações e comprovar que os naturais estão, de fato, dentro dos inteiros.

A soma e o produto de classes

As operações definem-se imitando o que ocorreria se as subtrações existissem. Se $(a, b)$ representa $a - b$ e $(c, d)$ representa $c - d$, a soma de ambas as subtrações seria $(a + c) - (b + d)$, e seu produto, ao desenvolvê-lo, $(ac + bd) - (ad + bc)$. Esta conta não é uma demonstração, porque usa subtrações que ainda não existem; serve para escolher as definições, nas quais só intervêm somas e produtos de naturais:

A definição calcula com representantes, e uma mesma classe tem infinitos. Se ao mudar de representante mudasse o resultado, a definição não definiria nada: daria vários valores para uma mesma operação. É preciso demonstrar, portanto, que o resultado depende só das classes; diz-se então que a operação está bem definida.

As propriedades da soma e do produto

Com as operações bem definidas, cada propriedade dos inteiros demonstra-se calculando com representantes, e cada uma herda a dos naturais que a sustenta. Para todos os inteiros $x$, $y$ e $z$ cumprem-se as seguintes:

1. Comutatividade e associatividade da soma, herdadas componente a componente das dos naturais.
2. Comutatividade do produto, herdada da comutatividade da soma e do produto dos naturais, como no passo 5 da demonstração anterior.
3. Associatividade do produto e distributividade, herdadas da associatividade, da comutatividade e da distributividade dos naturais.
4. Elemento neutro aditivo: a classe $C(1, 1)$, que contém todos os pares $(m, m)$.
5. Oposto: para cada classe $C(a, b)$, a classe $C(b, a)$, que se obtém ao refletir os pares em relação à diagonal.
6. Elemento neutro multiplicativo: a classe $C(2, 1)$.

As quatro últimas são contas breves. Para a distributividade, desenvolvem-se ambos os membros com as definições e obtém-se o mesmo par:

Para a associatividade do produto, os dois modos de agrupar $C(a, b) \cdot C(c, d) \cdot C(e, f)$ dão, depois de distribuir, o mesmo par de somas de quatro termos:

Para os elementos neutros e o oposto basta aplicar a regra de comparação de classes: $C(a + 1, b + 1) = C(a, b)$, porque $(a + 1) + b = (b + 1) + a$; o par $(2a + b, a + 2b)$, que define $C(a, b) \cdot C(2, 1)$, é equivalente a $(a, b)$, porque ambos os membros da condição valem $2a + 2b$; e $C(a, b) + C(b, a) = C(a + b, a + b)$, que é a classe dos pares com dois termos iguais.