整数：构造、符号与序

整数的构造

在关于数集的课中，整数被介绍为汇集自然数、零和自然数的相反数的集合，并陈述了它们的性质。然而，陈述这些性质并不等于证明它们：只要还没有说明负数是什么，符号法则或序与乘法的相容性就只是约定，而不是定理。本课只用皮亚诺公理和自然数的运算这两种手段来构造整数，并从构造中推出所有这些法则。与本课程的其余部分一样，自然数从 $1$ 开始；零在这一构造中第一次出现。

思路如下。方程 $x + b = a$ 仅当 $b < a$ 时有自然数解，这个解就是差 $a - b$。若是如此，负数就可以设想为一个尚未完成的减法，由会产生它的自然数对 $(a, b)$ 来描述。许多对描述同一个减法；例如，$(5, 2)$、$(4, 1)$ 和 $(9, 6)$ 描述 $3$，而 $(2, 5)$ 和 $(1, 4)$ 描述尚不存在、将来成为 $-3$ 的数。两个对 $(a, b)$ 和 $(c, d)$ 在 $a - b = c - d$ 时描述同一个减法；这个条件用到可能不存在的差，但在两边加上 $b + d$ 之后，它就变成自然数之间的一个总有意义的等式：

定义（等价的有序对）。两个自然数对 $(a, b)$ 和 $(c, d)$ 称为等价的，记作 $(a, b) \sim (c, d)$，如果 $a + d = b + c$。

在以自然数对为点的方格网中，$a$ 取在横轴上，$b$ 取在纵轴上，对 $(a + 1, b + 1)$ 与 $(a, b)$ 等价，因为 $a + (b + 1) = b + (a + 1)$；由此，与给定的对等价的那些对排列在一条平行于对角线的直线上，沿着它每次向右前进一格、向上前进一格。要使这个关系能用来把对视为同一，它必须表现得像相等关系一样：每个对与自身等价，关系不依赖于说出两个对的先后次序，与第三个对等价的两个对彼此等价。也就是说，它必须是自反的、对称的和传递的：即关于集合、关系与函数的课所说意义下的等价关系；那一课中关于将要构造整数的关系的例题，已经预示了这一构造。

作为对的类的整数

由于对的等价是一个等价关系，关于集合、关系与函数的课中的一般结果对它都成立，无须重复。对 $(a, b)$ 的类是与 $(a, b)$ 等价的所有自然数对组成的集合；按那一课的记号应写作 $C((a, b))$，这里简写为 $C(a, b)$。类中的每个对都是它的一个代表元。在方格网中，一个类就是一条平行于对角线的直线上的点的集合。由那里证明的关于等价类的引理，两个对等价当且仅当它们的类相等，有公共对的两个类重合；又由关于等价与划分的定理，这些类构成自然数对的一个划分。由此得出比较两个类的法则：

定义（整数）。整数是自然数对的一个类。整数集记作 $\mathbb{Z}$；它是自然数对关于对的等价的商集。

这个定义可能显得奇怪，因为一个数竟成了一个无限的对的集合。但分数的情形已经如此：$\frac{1}{2}$ 和 $\frac{2}{4}$ 是同一个数的不同写法，被定义的是所有这些写法的共同之处。类 $C(5, 2)$ 将是 $3$；类 $C(2, 5)$ 将是 $-3$；类 $C(1, 1)$ 将是 $0$。在使用这些名称之前，必须先定义运算，并验证自然数确实包含在整数之中。

类的和与积

运算的定义模仿假如差存在时会发生的情形。如果 $(a, b)$ 表示 $a - b$，$(c, d)$ 表示 $c - d$，两个差的和就会是 $(a + c) - (b + d)$，它们的积展开后就会是 $(ac + bd) - (ad + bc)$。这个计算不是证明，因为它用到尚不存在的差；它的作用是选择定义，而定义中只出现自然数的和与积：

定义借助代表元进行计算，而同一个类有无穷多个代表元。如果换一个代表元结果就改变，那么这个定义什么也没有定义：它会对同一个运算给出好几个值。因此必须证明结果只依赖于类；这时就说运算是良定义的。

加法和乘法的性质

运算良定义之后，整数的每个性质都可以借助代表元计算来证明，并且每个性质都继承了支撑它的自然数的性质。对所有整数 $x$、$y$ 和 $z$，下列性质成立：

1. 加法交换律和结合律，逐分量地继承自然数的相应性质。
2. 乘法交换律，继承自然数加法和乘法的交换律，如同前一个证明的第 5 步。
3. 乘法结合律和分配律，继承自然数的结合律、交换律和分配律。
4. 加法单位元：类 $C(1, 1)$，它包含所有的对 $(m, m)$。
5. 相反数：对每个类 $C(a, b)$，相反数是类 $C(b, a)$，它由各对关于对角线反射得到。
6. 乘法单位元：类 $C(2, 1)$。

后四条都是简短的计算。对分配律，按定义展开两边，得到同一个对：

对乘法结合律，$C(a, b) \cdot C(c, d) \cdot C(e, f)$ 的两种结合方式在分配之后给出同一个由四项之和组成的对：

对单位元和相反数，只需应用类的比较法则：$C(a + 1, b + 1) = C(a, b)$，因为 $(a + 1) + b = (b + 1) + a$；对 $(2a + b, a + 2b)$（它定义 $C(a, b) \cdot C(2, 1)$）与 $(a, b)$ 等价，因为条件的两边都等于 $2a + 2b$；以及 $C(a, b) + C(b, a) = C(a + b, a + b)$，这是两个分量相等的对的类。