पूर्णांक: रचना, चिह्न और क्रम

सारांश

यह पाठ प्राकृत संख्याओं से पूर्णांकों की रचना करता है। प्रत्येक पूर्णांक को प्राकृत संख्याओं के युग्मों $(a, b)$ के एक वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो व्यवकलन $a - b$ को निरूपित करते हैं, भले ही यह व्यवकलन प्राकृत संख्याओं में संभव न हो; वर्गों का योग और गुणनफल प्रतिनिधियों के द्वारा परिभाषित किए जाते हैं, और सिद्ध किया जाता है कि परिणाम चुने गए प्रतिनिधियों पर निर्भर नहीं करता। प्राकृत संख्याएँ पूर्णांकों के भीतर आ जाती हैं, शून्य और योज्य प्रतिलोम प्रकट होते हैं, और सिद्ध किया जाता है कि प्रत्येक पूर्णांक एक प्राकृत संख्या, शून्य या किसी प्राकृत संख्या का योज्य प्रतिलोम है। इस नींव पर चिह्नों का नियम, शून्य भाजकों का अभाव, गुणनफल का विलोपन नियम और क्रम के गुण सिद्ध किए जाते हैं, और ऋणात्मक भाज्य के शेषफल सहित विभाजन को प्राकृत भाज्य के विभाजन पर लाया जाता है।

अधिगम उद्देश्य

पूर्णांकों की रचना प्राकृत संख्याओं के युग्मों के वर्गों के रूप में करना, और सिद्ध करना कि युग्मों की तुल्यता एक तुल्यता संबंध है और वर्गों का योग और गुणनफल सुपरिभाषित हैं।
पूर्णांकों के भीतर प्राकृत संख्याओं, शून्य और योज्य प्रतिलोमों को पहचानना, और सिद्ध करना कि प्रत्येक पूर्णांक ठीक इनमें से एक है।
योग और गुणन के गुणों से चिह्नों का नियम, शून्य भाजकों का अभाव और गुणनफल का विलोपन नियम सिद्ध करना।
पूर्णांकों का क्रम परिभाषित करना, संक्रियाओं के साथ उसकी संगतता सिद्ध करना और उसे ऋणात्मक भाज्यों के शेषफल सहित विभाजन पर लागू करना।

पूर्णांकों की रचना

संख्या समुच्चयों वाले पाठ में पूर्णांकों को उस समुच्चय के रूप में प्रस्तुत किया गया था जो प्राकृत संख्याओं, शून्य और प्राकृत संख्याओं के योज्य प्रतिलोमों को एक साथ रखता है, और उनके गुण कहे गए थे। परंतु इन गुणों को कहना उन्हें सिद्ध करना नहीं है: जब तक यह न बताया जाए कि ऋणात्मक संख्या क्या है, तब तक चिह्नों का नियम या गुणन के साथ क्रम की संगतता परिपाटियाँ हैं, प्रमेय नहीं। यह पाठ केवल पियानो के अभिगृहीतों और प्राकृत संख्याओं की संक्रियाओं के साधनों से पूर्णांकों की रचना करता है, और रचना से ये सभी नियम निगमित करता है। पाठ्यक्रम के शेष हिस्से की तरह, प्राकृत संख्याएँ $1$ से आरंभ होती हैं; शून्य इस रचना में पहली बार प्रकट होता है।

विचार यह है। समीकरण $x + b = a$ का प्राकृत हल केवल तब होता है जब $b < a$ , और वह हल अंतर $a - b$ है। यदि ऐसा है, तो किसी ऋणात्मक संख्या की कल्पना एक अधूरे व्यवकलन के रूप में की जा सकती है, जिसका वर्णन प्राकृत संख्याओं का वह युग्म $(a, b)$ करता है जो उसे उत्पन्न करता। अनेक युग्म एक ही व्यवकलन का वर्णन करते हैं; उदाहरण के लिए, $(5, 2)$ , $(4, 1)$ और $(9, 6)$ संख्या $3$ का वर्णन करते हैं, और $(2, 5)$ तथा $(1, 4)$ उसका वर्णन करते हैं जो अभी विद्यमान नहीं है और जो $-3$ होगा। दो युग्म $(a, b)$ और $(c, d)$ एक ही व्यवकलन का वर्णन तब करते हैं जब $a - b = c - d$ ; यह शर्त ऐसे व्यवकलनों का उपयोग करती है जो शायद संभव न हों, परंतु दोनों पक्षों में $b + d$ जोड़ने पर यह प्राकृत संख्याओं के बीच एक ऐसी समता बन जाती है जिसका सदा अर्थ होता है:

a - b = c - d \leftrightarrow a + d = b + c

परिभाषा (तुल्य युग्म)। प्राकृत संख्याओं के दो युग्म $(a, b)$ और $(c, d)$ तुल्य कहलाते हैं, और $(a, b) \sim (c, d)$ लिखा जाता है, जब $a + d = b + c$ ।

उस ग्रिड में जिसके बिंदु प्राकृत संख्याओं के युग्म हैं, $a$ को क्षैतिज अक्ष पर और $b$ को ऊर्ध्वाधर अक्ष पर लेकर, युग्म $(a + 1, b + 1)$ , युग्म $(a, b)$ के तुल्य है, क्योंकि $a + (b + 1) = b + (a + 1)$ ; अतः किसी दिए गए युग्म के तुल्य युग्म विकर्ण के समांतर एक रेखा पर पंक्तिबद्ध होते हैं, जिस पर एक स्थान दाईं ओर और एक स्थान ऊपर बढ़ा जाता है। युग्मों की पहचान के लिए यह संबंध उपयोगी हो, इसके लिए इसे समता की तरह व्यवहार करना चाहिए: प्रत्येक युग्म स्वयं के तुल्य है, संबंध इस पर निर्भर नहीं करता कि युग्मों को किस क्रम में कहा जाता है, और किसी तीसरे युग्म के तुल्य दो युग्म आपस में तुल्य हैं। अर्थात् इसे स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होना चाहिए: समुच्चय, संबंध और फलन वाले पाठ के अर्थ में एक तुल्यता संबंध, जिसके उस उदाहरण ने, जो पूर्णांकों की रचना करने वाले संबंध के विषय में था, इस रचना का पूर्वाभास दिया था।

उपप्रमेययुग्मों की तुल्यता

प्राकृत संख्याओं के युग्मों की तुल्यता स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है: यह एक तुल्यता संबंध है। पहले दो गुण योग की क्रमविनिमेयता पर आ जाते हैं; तीसरे के लिए योग का विलोपन नियम आवश्यक है, जो प्राकृत संख्याओं की संक्रियाओं वाले पाठ के हल प्रश्न 1 में सिद्ध किया गया है। चित्र युग्मों $(5, 2)$ , $(4, 1)$ और $(7, 4)$ का अनुसरण करता है।

प्रमाण

$a + \resaltar{b} = b + \resaltar{a}$
स्वतुल्यता: युग्म $(a, b)$ स्वयं के तुल्य है, क्योंकि शर्त योग की क्रमविनिमेयता ही है।
$a + d = b + c \rightarrow \resaltar{c + b} = \resaltar{d + a}$
सममिति: यदि $(a, b)$ , $(c, d)$ के तुल्य है, तो पक्षों को आपस में बदलकर और प्रत्येक योग के पदों का क्रम बदलकर $(c, d)$ और $(a, b)$ की शर्त प्राप्त होती है।
$\dato{h1}{a + d = b + c}, \quad \dato{h2}{c + f = d + e}$
संक्रामकता: मान लीजिए कि $(a, b)$ , $(c, d)$ के तुल्य है, और $(c, d)$ , $(e, f)$ के तुल्य है।
$\resaltar{(a + d)} + \resaltar{(c + f)} = \resaltar{(b + c)} + \resaltar{(d + e)}$
हम दोनों समताओं को पक्षवार जोड़ते हैं।
$\resaltar{(a + f)} + (c + d) = \resaltar{(b + e)} + (c + d)$
साहचर्यता और क्रमविनिमेयता से, हम प्रत्येक पक्ष के चारों पदों को इस प्रकार पुनः समूहित करते हैं कि $c + d$ दोनों पक्षों में प्रकट हो।
$\dato{t}{a + f = b + e}$
योग के विलोपन नियम से $c + d$ हटा दिया जाता है: युग्म $(a, b)$ और $(e, f)$ तुल्य हैं।

युग्मों के वर्गों के रूप में पूर्णांक

चूँकि युग्मों की तुल्यता एक तुल्यता संबंध है, इसलिए समुच्चय, संबंध और फलन वाले पाठ के व्यापक परिणाम इस पर लागू होते हैं, जिन्हें दोहराने की आवश्यकता नहीं। युग्म $(a, b)$ का वर्ग प्राकृत संख्याओं के उन सभी युग्मों का समुच्चय है जो $(a, b)$ के तुल्य हैं; उस पाठ के संकेतन में यह $C((a, b))$ होता, और यहाँ इसे संक्षेप में $C(a, b)$ लिखा जाता है। वर्ग का प्रत्येक युग्म उसका एक प्रतिनिधि है। ग्रिड में, एक वर्ग विकर्ण के समांतर किसी रेखा के बिंदुओं का समुच्चय है। वहाँ सिद्ध की गई तुल्यता वर्गों वाली प्रमेयिका से, दो युग्म तुल्य हैं यदि और केवल यदि उनके वर्ग बराबर हैं, और किसी उभयनिष्ठ युग्म वाले दो वर्ग संपाती होते हैं; और तुल्यताओं और खंडनों वाली प्रमेय से, वर्ग प्राकृत संख्याओं के युग्मों का एक खंडन बनाते हैं। इससे वह नियम निकलता है जिससे दो वर्गों की तुलना की जाती है:

C(a, b) = C(c, d) \leftrightarrow a + d = b + c

परिभाषा (पूर्णांक)। पूर्णांक प्राकृत संख्याओं के युग्मों का एक वर्ग है। पूर्णांकों के समुच्चय को $\mathbb{Z}$ से निरूपित किया जाता है; यह युग्मों की तुल्यता के सापेक्ष प्राकृत संख्याओं के युग्मों का भागफल समुच्चय है।

\mathbb{Z} = \left( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \right) / {\sim}

परिभाषा अजीब लग सकती है, क्योंकि एक संख्या युग्मों का एक अनंत समुच्चय निकलती है। परंतु भिन्नों के साथ यही पहले से होता है: $\frac{1}{2}$ और $\frac{2}{4}$ एक ही संख्या के अलग-अलग लेखन हैं, और जो परिभाषित किया जाता है वह वह है जो इन सब में उभयनिष्ठ है। वर्ग $C(5, 2)$ संख्या $3$ होगा; वर्ग $C(2, 5)$ संख्या $-3$ ; वर्ग $C(1, 1)$ संख्या $0$ । इन नामों का उपयोग करने से पहले संक्रियाएँ परिभाषित करनी होंगी और जाँचना होगा कि प्राकृत संख्याएँ वास्तव में पूर्णांकों के भीतर हैं।

वर्गों का योग और गुणनफल

संक्रियाएँ उसका अनुकरण करते हुए परिभाषित की जाती हैं जो व्यवकलनों के संभव होने पर होता। यदि $(a, b)$ , $a - b$ को निरूपित करता है और $(c, d)$ , $c - d$ को, तो दोनों अंतरों का योग $(a + c) - (b + d)$ होता, और उनका गुणनफल, विस्तार करने पर, $(ac + bd) - (ad + bc)$ । यह गणना प्रमाण नहीं है, क्योंकि यह ऐसे अंतरों का उपयोग करती है जो अभी विद्यमान नहीं हैं; यह परिभाषाओं को चुनने में सहायक है, जिनमें केवल प्राकृत संख्याओं के योग और गुणनफल आते हैं:

C(a, b) + C(c, d) = C(a + c, b + d)

C(a, b) \cdot C(c, d) = C(ac + bd, ad + bc)

परिभाषा प्रतिनिधियों से गणना करती है, और एक ही वर्ग के अनंत प्रतिनिधि होते हैं। यदि प्रतिनिधि बदलने पर परिणाम बदल जाता, तो परिभाषा कुछ भी परिभाषित नहीं करती: वह एक ही संक्रिया के कई मान देती। अतः सिद्ध करना होगा कि परिणाम केवल वर्गों पर निर्भर करता है; तब कहा जाता है कि संक्रिया सुपरिभाषित है।

प्रमेययोग और गुणनफल प्रतिनिधियों पर निर्भर नहीं करते

यदि युग्म $(a, b)$ और $(p, q)$ तुल्य हैं, तो प्रत्येक युग्म $(c, d)$ के लिए युग्म $(a + c, b + d)$ और $(p + c, q + d)$ तुल्य हैं, और $(ac + bd, ad + bc)$ तथा $(pc + qd, pd + qc)$ भी तुल्य हैं। फलस्वरूप, दो पूर्णांकों का योग और गुणनफल चुने गए प्रतिनिधियों पर निर्भर नहीं करते। एक बार में एक प्रतिनिधि बदलना पर्याप्त है: पहले पहले योज्य या गुणनखंड का प्रतिनिधि, फिर दूसरे का। चित्र एक ही वर्ग के प्रतिनिधियों $(3, 1)$ और $(4, 2)$ का, और युग्म $(1, 2)$ का उपयोग करता है।

प्रमाण

$\dato{h}{a + q = b + p}$
हम परिकल्पना से आरंभ करते हैं: $(a, b)$ और $(p, q)$ तुल्य हैं।
$(a + c) + (q + d) = \resaltar{(a + q)} + (c + d) = \resaltar{(b + p)} + (c + d) = (b + d) + (p + c)$
योग: साहचर्यता और क्रमविनिमेयता से हम पुनः समूहित करते हैं और परिकल्पना प्रतिस्थापित करते हैं; $(a + c, b + d)$ और $(p + c, q + d)$ की तुल्यता की शर्त प्राप्त होती है।
$(ac + bd) + (pd + qc) = \resaltar{c(a + q)} + \resaltar{d(b + p)}$
गुणनफल: सिद्ध करना है कि $(ac + bd) + (pd + qc)$ , $(ad + bc) + (pc + qd)$ के बराबर है। वितरणशीलता से बायाँ पक्ष दो गुणनफलों में समूहित होता है।
$c\resaltar{(b + p)} + d\resaltar{(a + q)} = bc + pc + ad + qd = (ad + bc) + (pc + qd)$
हम दोनों कोष्ठकों में परिकल्पना प्रतिस्थापित करते हैं और फिर से वितरित करते हैं: दायाँ पक्ष प्राप्त होता है।
$(ca + db, cb + da) = (\resaltar{ac + bd}, \resaltar{ad + bc})$
दूसरे योज्य या गुणनखंड का प्रतिनिधि बदलने के लिए यह देखना पर्याप्त है कि परिभाषाएँ सममित हैं: प्राकृत संख्याओं की क्रमविनिमेयता से, जो युग्म $C(c, d) \cdot C(a, b)$ को परिभाषित करता है वही $C(a, b) \cdot C(c, d)$ को परिभाषित करता है, और योग के साथ भी ऐसा ही होता है।
$C(a, b) = C(p, q) \rightarrow C(a, b) \cdot C(c, d) = C(p, q) \cdot C(c, d)$
पहले एक प्रतिनिधि और फिर दूसरा बदलने पर परिणाम का वर्ग नहीं बदलता: पूर्णांकों का योग और गुणनफल सुपरिभाषित हैं।

योग और गुणन के गुण

संक्रियाएँ सुपरिभाषित होने के बाद पूर्णांकों का प्रत्येक गुण प्रतिनिधियों से गणना करके सिद्ध होता है, और प्रत्येक गुण प्राकृत संख्याओं का वह गुण विरासत में पाता है जिस पर वह टिका है। सभी पूर्णांकों $x$ , $y$ और $z$ के लिए निम्नलिखित गुण सत्य हैं:

योग की क्रमविनिमेयता और साहचर्यता, जो प्राकृत संख्याओं के इन्हीं गुणों से घटक-दर-घटक विरासत में मिलती हैं।
गुणन की क्रमविनिमेयता, जो प्राकृत संख्याओं के योग और गुणन की क्रमविनिमेयता से विरासत में मिलती है, जैसे पिछले प्रमाण के चरण 5 में।
गुणन की साहचर्यता और वितरणशीलता, जो प्राकृत संख्याओं की साहचर्यता, क्रमविनिमेयता और वितरणशीलता से विरासत में मिलती हैं।
योज्य तत्समक: वर्ग $C(1, 1)$ , जिसमें सभी युग्म $(m, m)$ हैं।
योज्य प्रतिलोम: प्रत्येक वर्ग $C(a, b)$ के लिए वर्ग $C(b, a)$ , जो युग्मों को विकर्ण के सापेक्ष परावर्तित करने पर प्राप्त होता है।
गुणात्मक तत्समक: वर्ग $C(2, 1)$ ।

अंतिम चार गुण छोटी गणनाएँ हैं। वितरणशीलता के लिए, दोनों पक्षों का परिभाषाओं से विस्तार किया जाता है और एक ही युग्म प्राप्त होता है:

C(a, b) \cdot C(c + e, d + f) = C(ac + bd + ae + bf, ad + bc + af + be) = C(ac + bd, ad + bc) + C(ae + bf, af + be)

गुणन की साहचर्यता के लिए, $C(a, b) \cdot C(c, d) \cdot C(e, f)$ को समूहित करने के दोनों ढंग, वितरित करने के बाद, चार पदों के योगों का एक ही युग्म देते हैं:

C(ace + adf + bcf + bde, acf + ade + bce + bdf)

तत्समकों और योज्य प्रतिलोम के लिए वर्गों की तुलना का नियम लागू करना पर्याप्त है: $C(a + 1, b + 1) = C(a, b)$ , क्योंकि $(a + 1) + b = (b + 1) + a$ ; युग्म $(2a + b, a + 2b)$ , जो $C(a, b) \cdot C(2, 1)$ को परिभाषित करता है, $(a, b)$ के तुल्य है, क्योंकि शर्त के दोनों पक्ष $2a + 2b$ के बराबर हैं; और $C(a, b) + C(b, a) = C(a + b, a + b)$ , जो दो समान घटकों वाले युग्मों का वर्ग है।

C(a, b) + C(1, 1) = C(a, b), \qquad C(a, b) \cdot C(2, 1) = C(a, b), \qquad C(a, b) + C(b, a) = C(1, 1)

इस पाठ के शेष भाग में

प्राकृत संख्याएँ, शून्य और योज्य प्रतिलोम
चिह्नों का नियम
पूर्णांकों का क्रम
पूर्णांकों में शेषफल सहित विभाजन
हल किए गए प्रश्न
प्रत्येक वर्ग का विहित प्रतिनिधि
एक गुणनफल जो सुपरिभाषित नहीं है
व्युत्क्रमणीय पूर्णांक
भागफल, भाज्य से अधिक न होने वाले सबसे बड़े गुणज के रूप में
संक्रियाओं के साथ संगत एकमात्र क्रम
अभ्यास प्रश्न
एक शताब्दी पहले का सप्ताह का दिन
योग का योज्य प्रतिलोम और व्यवकलन के नियम
युग्मों में पढ़ा गया क्रम
ऋणात्मक भाजक से विभाजन
पूर्णांकों में सुक्रम

निःशुल्क खाते के साथ पढ़ना जारी रखें

यह पूरा पाठ और हर पाठ्यक्रम के पहले पाठ पढ़ने तथा अपनी प्रगति सहेजने के लिए अपना निःशुल्क खाता बनाएँ।

खाता बनाएँ साइन इन करें

पूरा पाठ्यक्रम पाएँ

इस पाठ का शेष भाग सदस्यता में शामिल है। सदस्यता के साथ आपको हर पाठ्यक्रम के सभी पाठ, उनके प्रश्नों और प्रमाणों के साथ, मिलते हैं।

खाता बनाएँ साइन इन करें